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2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.2 等比数列（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）
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这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.2 等比数列（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了等比数列基本量的计算，等比中项，等比数列前n项和的性质，等比数列定义及其运用，等比数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点呈现
例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1） (2023·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（ ）
A．B．C．D．
（2） (2023·重庆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．3D．4
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·江西·新余四中）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．B．
C．或1D．或1
2． (2023·河北廊坊·高三阶段练习）已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3． (2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·河北石家庄·高三期末）等比数列的前项和为，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
5 (2023·四川·三模（理））已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21B．81C．243D．729
考点二 等比中项
【例2-1】 (2023·江西·上饶市第一中学二模）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【例2-2】 (2023·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·一模）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
2． (2023·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．6B．9C．27D．81
3． (2023·全国·高三专题练习）设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4． (2023·广西柳州）在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51B．﹣20C．27D．40
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【例3-4】 (2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【例3-5】 (2023·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【一隅三反】
1． (2023·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
2． (2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5． (2023·四川绵阳·一模）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列
【一隅三反】
1． (2023·江苏盐城）（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．，，，…B．，，，…
C．，，，…D．，，，…
2． (2023·广东·佛山一中）已知数列{}满足：
(1)求证：数列{}是等比数列；
(2)，求数列{·}的前n项和.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项和．
考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】 (2023·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A．B．1C．D．
【例5-2】 (2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6B．7C．8D．9
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末B．7小时末C．8小时末D．9小时末
2． (2023·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42B．56C．63D．70
3． (2023·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
4.2 等比数列（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1） (2023·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（ ）
A．B．C．D．
（2） (2023·重庆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】(1)C（2）B
【解析】（1）因为，且，所以数列是以2为公比的等比数列，又，得，所以.故选：C
（2）设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得，.故选：B.
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·江西·新余四中）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．B．
C．或1D．或1
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为q.因为，，所以，，即，，所以，解得或.故选：C.
2． (2023·河北廊坊·高三阶段练习）已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，得，因为，所以，即.故必要性满足；
.因为，，所以．故充分性满足.所以“”是“”的充要条件.故选：C
3． (2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，则，所以，，
因为，即，，解得，因此，.故选：C.
4． (2023·河北石家庄·高三期末）等比数列的前项和为，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，等比数列满足，，，则，，
两式相除得，.故选：D
5 (2023·四川·三模（理））已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21B．81C．243D．729
【答案】C
【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C
考点二 等比中项
【例2-1】 (2023·江西·上饶市第一中学二模）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】C
【解析】根据等比中项得，所以.故选：C.
【例2-2】 (2023·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在等比数列中，若，是方程的两实根，
，，则，，则，则或，即充分性成立，
当，或时，能推出，但无法推出，即必要性不成立，
即“，是方程的两实根”是“，或”的充分不必要条件，故选：A．
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·一模）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】因为､是方程的两根，所以，，
所以，，又为等比数列，则，
所以，所以或（舍去），所以.故选：B.
2． (2023·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．6B．9C．27D．81
【答案】B
【解析】，.故选：B
3． (2023·全国·高三专题练习）设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由成等比数列可得，但当时，不是等比数列，所以“a，b，c，d成等比数列”是“ad=bc”的充分而不必要条件，故选：A.
4． (2023·广西柳州）在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由等比数列，解得，所以，所以，故选：D.
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51B．﹣20C．27D．40
【答案】D
【解析】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13
所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，
∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），
∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.故选：A
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】当时，，又，即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
【例3-4】 (2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
【例3-5】 (2023·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以，公比首项，
所以 ，通项，所以，
当且仅当，所以当时，的最小值为8.故选：C.
【一隅三反】
1． (2023·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
【答案】D
【解析】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
2． (2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时,,
当时，
所以，故选B.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
即，
因为，所以，则，
即，解得，故选：B.
5． (2023·四川绵阳·一模）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列
【答案】C
【解析】∵，∴，既不是等比数列也不是等差数列；
∴，∴数列是公比为的等比数列．故选：C
【一隅三反】
1． (2023·江苏盐城）（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．，，，…B．，，，…
C．，，，…D．，，，…
【答案】BD
【解析】设数列的公比为，，
对于A和C，都有首项，当时，，不满足等比数列，故AC错误；
对于B，，且，
同理，故数列，，，…为等比数列，B正确；
对于D，，且，，
故数列，，，…为等比数列，D正确；故选：BD
2． (2023·广东·佛山一中）已知数列{}满足：
(1)求证：数列{}是等比数列；
(2)，求数列{·}的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以.
而，所以数列{}是以为首项，以3为公比的等比数列，所以，即.
(2)由（1）可得∴
记……①所以……②
①-②得：
∴∴.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)证明见解析；；(2) .
【解析】(1)因为，所以，
又因为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，从而，故.
(2)由(1)中结论可知， ①，
所以 ②，
由①②得，
化简整理得，，所以，
故，
所以，故.
考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】 (2023·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，
则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，
则，∴.故选：D.
【例5-2】 (2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】第一次操作去掉，设为；
第二次操作去掉，设为；
第三次操作去掉，设为，
依次类推，.
故
，
整理，得，
，
，
故n的最小值为7.
故选：B.
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末B．7小时末C．8小时末D．9小时末
【答案】A
【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，
，则是等比数列，首项为，公比，
所以.依题意，，即，所以,
由于，
又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
故选:A.
2． (2023·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42B．56C．63D．70
【答案】C
【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，
由，可得，解得，两边取对数得，
则，所以，
故需要的天数约为.
故选：C
3． (2023·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
【答案】B
【解析】设，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，，同理可得，
所以，
而，所以数列是等比数列，公比为1.2，
所以，，
∴总利润为，故选:B．
考点呈现
例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1） (2023·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（ ）
A．B．C．D．
（2） (2023·重庆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．3D．4
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·江西·新余四中）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．B．
C．或1D．或1
2． (2023·河北廊坊·高三阶段练习）已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3． (2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·河北石家庄·高三期末）等比数列的前项和为，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
5 (2023·四川·三模（理））已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21B．81C．243D．729
考点二 等比中项
【例2-1】 (2023·江西·上饶市第一中学二模）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【例2-2】 (2023·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·一模）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
2． (2023·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．6B．9C．27D．81
3． (2023·全国·高三专题练习）设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4． (2023·广西柳州）在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51B．﹣20C．27D．40
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【例3-4】 (2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【例3-5】 (2023·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【一隅三反】
1． (2023·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
2． (2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5． (2023·四川绵阳·一模）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列
【一隅三反】
1． (2023·江苏盐城）（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．，，，…B．，，，…
C．，，，…D．，，，…
2． (2023·广东·佛山一中）已知数列{}满足：
(1)求证：数列{}是等比数列；
(2)，求数列{·}的前n项和.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项和．
考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】 (2023·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A．B．1C．D．
【例5-2】 (2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6B．7C．8D．9
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末B．7小时末C．8小时末D．9小时末
2． (2023·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42B．56C．63D．70
3． (2023·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
4.2 等比数列（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1） (2023·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（ ）
A．B．C．D．
（2） (2023·重庆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】(1)C（2）B
【解析】（1）因为，且，所以数列是以2为公比的等比数列，又，得，所以.故选：C
（2）设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得，.故选：B.
1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
温馨提示
【一隅三反】
1． (2023·江西·新余四中）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A．B．
C．或1D．或1
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为q.因为，，所以，，即，，所以，解得或.故选：C.
2． (2023·河北廊坊·高三阶段练习）已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，得，因为，所以，即.故必要性满足；
.因为，，所以．故充分性满足.所以“”是“”的充要条件.故选：C
3． (2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，则，所以，，
因为，即，，解得，因此，.故选：C.
4． (2023·河北石家庄·高三期末）等比数列的前项和为，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，等比数列满足，，，则，，
两式相除得，.故选：D
5 (2023·四川·三模（理））已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21B．81C．243D．729
【答案】C
【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C
考点二 等比中项
【例2-1】 (2023·江西·上饶市第一中学二模）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】C
【解析】根据等比中项得，所以.故选：C.
【例2-2】 (2023·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在等比数列中，若，是方程的两实根，
，，则，，则，则或，即充分性成立，
当，或时，能推出，但无法推出，即必要性不成立，
即“，是方程的两实根”是“，或”的充分不必要条件，故选：A．
【一隅三反】
1． (2023·安徽黄山·一模）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】因为､是方程的两根，所以，，
所以，，又为等比数列，则，
所以，所以或（舍去），所以.故选：B.
2． (2023·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．6B．9C．27D．81
【答案】B
【解析】，.故选：B
3． (2023·全国·高三专题练习）设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由成等比数列可得，但当时，不是等比数列，所以“a，b，c，d成等比数列”是“ad=bc”的充分而不必要条件，故选：A.
4． (2023·广西柳州）在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由等比数列，解得，所以，所以，故选：D.
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51B．﹣20C．27D．40
【答案】D
【解析】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13
所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，
∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），
∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．
【例3-2】 (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.故选：A
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】当时，，又，即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
【例3-4】 (2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
【例3-5】 (2023·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以，公比首项，
所以 ，通项，所以，
当且仅当，所以当时，的最小值为8.故选：C.
【一隅三反】
1． (2023·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180B．108
C．75D．63
【答案】D
【解析】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
2． (2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时,,
当时，
所以，故选B.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
即，
因为，所以，则，
即，解得，故选：B.
5． (2023·四川绵阳·一模）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列
C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列
【答案】C
【解析】∵，∴，既不是等比数列也不是等差数列；
∴，∴数列是公比为的等比数列．故选：C
【一隅三反】
1． (2023·江苏盐城）（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．，，，…B．，，，…
C．，，，…D．，，，…
【答案】BD
【解析】设数列的公比为，，
对于A和C，都有首项，当时，，不满足等比数列，故AC错误；
对于B，，且，
同理，故数列，，，…为等比数列，B正确；
对于D，，且，，
故数列，，，…为等比数列，D正确；故选：BD
2． (2023·广东·佛山一中）已知数列{}满足：
(1)求证：数列{}是等比数列；
(2)，求数列{·}的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以.
而，所以数列{}是以为首项，以3为公比的等比数列，所以，即.
(2)由（1）可得∴
记……①所以……②
①-②得：
∴∴.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)证明见解析；；(2) .
【解析】(1)因为，所以，
又因为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，从而，故.
(2)由(1)中结论可知， ①，
所以 ②，
由①②得，
化简整理得，，所以，
故，
所以，故.
考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】 (2023·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，
则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，
则，∴.故选：D.
【例5-2】 (2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】第一次操作去掉，设为；
第二次操作去掉，设为；
第三次操作去掉，设为，
依次类推，.
故
，
整理，得，
，
，
故n的最小值为7.
故选：B.
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末B．7小时末C．8小时末D．9小时末
【答案】A
【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，
，则是等比数列，首项为，公比，
所以.依题意，，即，所以,
由于，
又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
故选:A.
2． (2023·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42B．56C．63D．70
【答案】C
【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，
由，可得，解得，两边取对数得，
则，所以，
故需要的天数约为.
故选：C
3． (2023·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
【答案】B
【解析】设，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，，同理可得，
所以，
而，所以数列是等比数列，公比为1.2，
所以，，
∴总利润为，故选:B．
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