2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了证线段垂直，夹角问题，线段长度，几何中的最值，三角形的四心，三角的面积等内容，欢迎下载使用。

例题剖析
考点一 证线段垂直
【例1-1】 (2023·山西运城）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A．B．C．13D．26
【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、，求证：.
【一隅三反】
1． (2023·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
2． (2023·福建·漳州三中）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
3．（2022·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
考点二 夹角问题
【例2】 (2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·福建省同安第一中学）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
考点三 线段长度
【例3-1】 (2023·福建·福州三中）在平行四边形中，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【例3-2】 (2023·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【一隅三反】
1． (2023·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A．B．3C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A．B．C．3D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
考点四 几何中的最值
【例4】 (2023·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·安徽安庆）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是___________.
2． (2023·江苏·无锡市教育科学研究院）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
3． (2023·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.
4． (2023·四川省内江市第六中学）如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是________．
考点五 三角形的四心
【例5】 (2023·甘肃·兰州一中）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【一隅三反】
1． (2023·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )
A．B．
C．D．
2． (2023·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O是四边形内一点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形为正方形，点O是正方形的中心
B．四边形为一般四边形，点O是四边形的对角线交点
C．四边形为一般四边形，点O是四边形的外接圆的圆心
D．四边形为一般四边形，点O是四边形对边中点连线的交点
4． (2023·山东省平邑县第一中学）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
考点六 三角的面积
【例6-1】 (2023·全国·高三）点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【例6-2】 (2023·全国·高三专题练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
【一隅三反】
1． (2023·上海交大附中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三）P是所在平面内一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·四川凉山）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个B．个C．个D．个
5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 证线段垂直
【例1-1】 (2023·山西运城）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（ ）
A．B．C．13D．26
【答案】C
【解析】∵，∴AC⊥BD，所以四边形ABCD面积为：.故选：C.
【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、，求证：.
【答案】见解析
【解析】设正方形的边长为，，则，，.，，
，即.
【一隅三反】
1． (2023·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
【答案】B
【解析】，,所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
2． (2023·福建·漳州三中）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.故选：B
3．（2022·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】因为，．
由且，得，
所以.
考点二 夹角问题
【例2】 (2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，即，解得，
，又，所以．故选：C．
【一隅三反】
1． (2023·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】建立如图直角坐标系，则,得,
所以，故选：D.
2． (2023·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，所以
，
因为，所以，所以当时最大，此时，最大的值为.
故选：A.

3． (2023·福建省同安第一中学）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立如图所示平面直角坐标系：
则,设，
因为动点位于直线上，直线的方程为：，
所以，
当时，取得最小值，此时，，
所以，
又因为，所以，故选：C.
考点三 线段长度
【例3-1】 (2023·福建·福州三中）在平行四边形中，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【解析】由题意得|，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，
得：，故选：
【例3-2】 (2023·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【解析】根据正弦定理由，
因为，所以，或，
当时，,不符合三角形内角和定理，
当时，，因此,
因此，因为的面积为，
所以有，负值舍去，即，
由余弦定理可知：，
设边的中点为，所以有，因此
故选：C
【一隅三反】
1． (2023·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，
所以，，所以，即，
又是的平分线，所以，而，所以，
，
，所以，故选：C．
2． (2023·全国·高三专题练习）在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取中点O，连接，

，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】取的中点为，因为，故即，
故，所以三点共线，故与重合，所以，
故，解得或，
因为且，故，故，故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（ ）
A．49B．7C．D．
【答案】D
【解析】因为，故可得，
根据余弦定理可得，故，
不妨取中点为，故，
故.
即边上的中线长为.
故选：.
考点四 几何中的最值
【例4】 (2023·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.
则 , 设DE的长为x，则 ，
则，，所以，解得或，由题意知： ，且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是，故选：B.
【一隅三反】
1． (2023·安徽安庆）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是___________.
【答案】3
【解析】设，则
因为为边中点，所以，即.
于是.
当，即点是中线的中点时，取得最小值
即因此故答案为：
2． (2023·江苏·无锡市教育科学研究院）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
3． (2023·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】过点作于所以且,其中,
当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为；
当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为
的取值范围是．
故答案为：．
4． (2023·四川省内江市第六中学）如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是________．
【答案】
【解析】在等腰中，∵，，
∴；
∵、分别是边、的点，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
其中，，即，∴当时，取得最小值，
∴的最小值是．故答案为：．
考点五 三角形的四心
【例5】 (2023·甘肃·兰州一中）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【解析】对于A，设边、、的中点分别为、、
,则，所以
所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，
则是的重心.故A正确
对于B，若，则，所以
所以为的外心，故B错误
对于C，设边、、的中点分别为点、、，
则,所以为线段的中垂线，
同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确
对于D，由已知，，
即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，
所以则是的垂心，故D错误.故选：AC
【一隅三反】
1． (2023·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】如图：
根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且.
对于A，∵，∴，故A正确；
对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，显然不正确.故选：ABC.
2． (2023·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，故，
由欧拉线定理可得，故C项正确；
如图（2），由可得，即，则有，D项正确，
故选：BCD.
3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O是四边形内一点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形为正方形，点O是正方形的中心
B．四边形为一般四边形，点O是四边形的对角线交点
C．四边形为一般四边形，点O是四边形的外接圆的圆心
D．四边形为一般四边形，点O是四边形对边中点连线的交点
【答案】ABC
【解析】对于A，若四边形为正方形，点O是正方形的中心，则必有，
但反过来，由推不出四边形为正方形，故A错误；
对于BCD，如图所示，O是四边形内一点，且
设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则知，，，即O是EF的中点；
同理，设AD，BC的中点分别为M，N，由向量加法的平行四边形法则知，，即O是MN的中点；
所以O是EF，MN的交点，故BC错误，D正确；
故选：ABC
4． (2023·山东省平邑县第一中学）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
【答案】ABCD
【解析】对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；
对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；
对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；
对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；
由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．
考点六 三角的面积
【例6-1】 (2023·全国·高三）点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】如图，设中点为，中点为，
因为，即，则，即，
则，
所以的面积与的面积的比值是6.故选：B.
【例6-2】 (2023·全国·高三专题练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】B
【解析】， ．如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，在正三角形中，
，，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,所以，得．故选：B
【一隅三反】
1． (2023·上海交大附中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
因为，所以，所以O为的重心，
设，所以，
则，所以，所以，
故选：A
2． (2023·全国·高三）P是所在平面内一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设，，故共线且，如下图示：
所以.
故选：A
3． (2023·四川凉山）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【解析】对于①，当时，；
设中点为，则，即，
为的重心，①正确；
对于②，当，，时，，，
取中点，中点，
，，，即，
到直线距离与到直线距离之比为：，即；
又为中点，点到直线距离，，
，即，②正确；
对于③，由得：，
，同理可得：，，
为的垂心，③正确；
对于④，当，，时，，，
又为边中点，，
又，，，④正确.
故选：D.