2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了三角形中位线，构造平行四边形，等比例，线面平行的性质，面面平行的性质，线面垂直的性质等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 三角形中位线
【例1】 (2023·浙江）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面
【一隅三反】
1． (2023·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
2． (2023·山东）如图，在三棱柱中，点M为的中点，证明：平面
3． (2023·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC
考点二 构造平行四边形
【例2】 (2023·重庆巴蜀中学）如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，求证：平面
.
【一隅三反】
1． (2023·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
2． (2023·河北保定）如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面
3． (2023·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面
考点三 等比例
【例3】 (2023·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面
【一隅三反】
1． (2023·广东）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面
2 (2023·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面
3． (2023·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB的中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且，求证：平面BB1F
考点四 线面平行的性质
【例4】 (2023·北京海淀）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证：
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
2． (2023·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线
3． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；
考点五 面面平行的性质
【例5】 (2023·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为菱形，，求证：平面
2． (2023·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面
3． (2023·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥中，F，M，N分别为的中点，求证：∥平面
考点六 线面垂直的性质
【例6】 (2023·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD
【一隅三反】
1． (2023·江苏·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
2． (2023·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是菱形，平面，平面，且，分别是的中点，证明：平面平面
7.1 空间几何中的平行（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 三角形中位线
【例1】 (2023·浙江）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接交于，连接,是菱形，是中点，又是中点面,面面
【一隅三反】
1． (2023·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
2． (2023·山东）如图，在三棱柱中，点M为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接与交于点O，则O为的中点，连接OM，因为点M为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；
3． (2023·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；
考点二 构造平行四边形
【例2】 (2023·重庆巴蜀中学）如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】（1）设，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面平面，所以平面
.
【一隅三反】
1． (2023·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；
2． (2023·河北保定）如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，则.又平面平面，所以平面.
3． (2023·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为中点,故 ,又 ,F为中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为平面，平面,故平面；
考点三 等比例
【例3】 (2023·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面
【答案】证明见解析
【解析】在上取一点，使得，连接，
，，又平面，平面，
平面；
，，，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
，平面，平面平面，
平面，平面.
【一隅三反】
1． (2023·广东）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】连接、、，∵、、分别是、、的重心，
∴、、分别为、、的中点，且，
∴， ，
平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
且，∴平面平面.
2 (2023·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面
【答案】见解析
【解析】过点作，交于点，连接，
由题意得，
故，，而平面，平面，
平面，同理得平面，
而，平面平面，
平面
3． (2023·湖南·长沙一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB的中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且，求证：平面BB1F
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，
故为的中位线，得，
而平面，平面，
从而平面，①
又，结合长方体的对称性知，
即四边形为平行四边形，故，
又，所以，
而平面，平面，
从而平面，②
，
结合①②知，平面平面，从而平面.
考点四 线面平行的性质
【例4】 (2023·北京海淀）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点，求证：
【答案】证明见解析；
【解析】因为平面，平面，平面平面，所以.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，在直三棱锥中，
因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以.
2． (2023·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线
【答案】证明见解析
【解析】直线平面，，平面平面，．
3． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；
【答案】证明见解析
【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，
平面.
又平面，平面平面，
所以.
考点五 面面平行的性质
【例5】 (2023·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为菱形，，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，平面.
2． (2023·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面
【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，∴平面.
3． (2023·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四棱锥中，F，M，N分别为的中点，求证：∥平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点G，连接，则由M，G分别为的中点易得∥
平面，平面∴∥平面同理：∥平面
又，所以平面∥平面，所以∥平面
考点六 线面垂直的性质
【例6】 (2023·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：取CD的中点G，连接EG
∵△CDE为腰长为的等腰三角形，∴
又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,
∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴
又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE
【一隅三反】
1． (2023·江苏·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．
2． (2023·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【解析】证明：在中，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，
在中，，则，
因为，所以平面，
所以；
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是菱形，平面，平面，且，分别是的中点，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】因分别是的中点，则有，
又平面，平面，于是得平面，
连接AC交BD于点O，连接FO，如图，
因四边形ABCD为菱形，则O为AC中点，而F为AB1中点，于是得，
因平面，平面，因此，平面，
又平面，平面，则有，而，于是得四边形是平行四边形，则有，又，平面，所以平面平面.