2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了柱锥台表面积，柱锥台的体积，球的体积与表面积，空间几何的截面等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】 (2023·河南）如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，为线段的四等分点，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习（理））在边长为2的菱形中，，垂足为点E，以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，则三棱锥的表面积为_______．
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】 (2023·福建）若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·江苏南京·高三开学考试）在△ABC中，.则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】 (2023·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模）若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
4． (2023·上海闵行·二模）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
考点三 球的体积与表面积
【例3】 (2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ）
A．B．4C．D．.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
考点四 空间几何的截面
【例4】 (2023·贵州贵阳·二模（理））如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中一定不是其截面图的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022广西）立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体的内切球的直径为过球的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南·二模（理））如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.
7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.
故选：C.
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.故选：B.
【例1-3】 (2023·河南）如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，为线段的四等分点，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，
则，，解得：，，
圆台上、下底面面积分别为：，，
又圆台的侧面积，圆台的表面积.故选：A.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意得，
解得，又，则，．故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，
所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，

设圆台上底面圆的半径，则
所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，
所以母线长，
所以，故选：C.
3． (2023·全国·高三专题练习（理））在边长为2的菱形中，，垂足为点E，以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，，如下图示：
绕所在的直线为轴旋转半周，则与重合，
所得旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台组合而成，如下图示：

所以圆锥表面积为，圆台表面积为，
则几何体的表面积.故选：C
4． (2023·全国·高三专题练习）如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，则三棱锥的表面积为_______．
【答案】
【解析】由题意，折起前是边上的高，
当折起后，可得，，
因为，，所以，
从而，
所以三棱锥的表面积.
故答案为：.
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】 (2023·福建）若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知母线与圆锥底面的夹角的正弦值为，故母线与圆锥底面的夹角为 ，
设底面半径为r，圆锥的高为h，母线长为l，则① ，
则圆锥的表面积为 ，将①代入，解得 ，
圆锥的体积为 ；故选：A.
【例2-2】 (2023·江苏南京·高三开学考试）在△ABC中，.则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过A作交于点，则题中旋转体是以绕直角边所在直线BC旋转所成的两个圆锥的组合体.因为，
所以，所以△ABC的面积为：
，解得：.
所以将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为：
故选：C.
【例2-3】 (2023·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（ ）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
【答案】D
【解析】由题意得圆柱的高约为（cm），
则何尊的体积（cm3）故选：D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，
在正四棱台中，点分别为上、下底面的中心，连接，则由题意可知底面，，过点作交于点，则底面，四边形为矩形，，所以，因为，所以，
即正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.
故选：B.
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模）若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的高为h，因为母线与底面所成的角为，所以，解得．
圆锥的体积．故选：B
3． (2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】如图所示：
连接，因为，，且，所以平面，
所以，，故选：D
4． (2023·上海闵行·二模）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【解析】(1)证明：因为平面，平面，
所以，
因为四棱锥的底面为菱形，，
所以为等边三角形，
因为为棱的中点
所以BC，
因为AD∥BC，
所以DE⊥AD，
因为，
所以平面PAD，
(2)连接PE，因为，从而，
，
所以，
设点到平面的距离为h，
其中由勾股定理得：，
由三线合一知：，所以，
而，解得：，
所以点到平面的距离为.
考点三 球的体积与表面积
【例3】 (2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ）
A．B．4C．D．.
【答案】B
【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，
则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
因为，
所以．
故选：A
2． (2023·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】球O的半径为，∴体积．故选：A
考点四 空间几何的截面
【例4】 (2023·贵州贵阳·二模（理））如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中一定不是其截面图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方体的任何面的平面截都无法得到.故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】轴截面如下图，ABCD为正方形，设圆柱底面圆直径，则球直径，故圆柱表面积为，球表面积为，故它们的表面积之比为，
故选：C
2．（2022广西）立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体的内切球的直径为过球的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当截面为正方体的对角面时，截面面积最大，
由已知得正方体棱长为截面面积的最大值为故选：D
3． (2023·河南·二模（理））如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.
【答案】 20
【解析】由题意可得，
利用切割法可得
；
将长方体展开，如图所示，
当点为与的交点、点为与的交点时，截面周长最小，
此时截面的周长为，
而在中，，
所以截面周长的最小值为.
故答案为：20；.