2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
2． (2023·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
题组二 线面角
1． (2023·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体中，，，是棱上的点，且．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2． (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.
(1)求到平面的距离；
(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．
(1)证明：；
(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.
4．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
题组三 二面角
1． (2023·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.
(1)证明：.
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；
①求三棱锥P-ACE的体积；
②求二面角P-AC-E的余弦值.
4． (2023·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
5．（2023·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.
(1)求证：平面平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
6． (2023·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)若，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角
1． (2023·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
2． (2023·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，可得底面，
由底面边长为，可得，所以，
在直角中，，可得，
又由，在直角中，可得，
即点在以为圆心，以为半径的圆上，
所以当圆与的交点时，此时两点间距离最小，最小值为，
以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：A.
3． (2023·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
题组二 线面角
1． (2023·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体中，，，是棱上的点，且．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，．
(2)以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则，
，．
设平面的一个法向量为，则
，，
即，
令，则
设直线与平面所成角的为，则
，
所以设直线与平面所成角的正弦值为
2． (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.
(1)求到平面的距离；
(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为为的中点，，所以，
设到平面的距离为h，则到平面的距离为，
因为，
即，
即，得，即到平面的距离.
(2)因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，
如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则点，，，，.
则，，.
设平面的法向量为，
则由解得.
令，则，于是平面的一个法向量为.
所以直线与平面所成角的正弦值为
.
故直线与平面所成角的正弦值为.
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．
(1)证明：；
(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
(2)由（1）知，面，
，
故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
易求
各点坐标如下，
则
设平面的一个法向量为
则
令，得平面的一个法向量为
4．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【解析】(1)因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）法一：（1），D为BC中点， 在直三棱柱中,平面ABC，又AD平面ABC，.又，平面，平面,又平面，.法二:如图建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，则，，，，，，，，
（2）法一：由（1）得，平面，设AB=a，由得,.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则，，，，，，设为平面的一个法向量，即令， 设与平面所成角为，则法二：，D为BC中点，在直三棱柱中，平面ABC，又AD平面ABC，又，平面，平面,设AB=a，由得，.则，，，，，，，设为平面的一个法向量，，即令，，设与平面所成角为，则.
题组三 二面角
1． (2023·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取的中点为，的中点为，连接，，，
因为平面，平面，故，
而为等边三角形，，所以，
又M、N分别为BE、AB所在棱的中点，所以，
又，，所以，，故四边形为平行四边形，
所以，
则，，
又，平面，所以平面，
而平面，故平面平面.
(2)
由（1）可知，为直线与平面所成角，
设，则，，
则，解得
法一：向量法（通性通法）如图建立空间直角坐标系，
则、、
∴、
设平面的法向量，则，
令，解得，，则
∵平面，∴是平面的一个法向量
∴
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.
法二：几何法：延长ED交AC的延长线于S，连接BS，则平面平面
由（1）易知，，则，所以平面，
又平面，所以，，
故为平面与平面所成的锐二面角，
又，则，故
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.
2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.
(1)证明：.
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故
(2)由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；
①求三棱锥P-ACE的体积；
②求二面角P-AC-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴.∵，有，且ABCD是直角梯形，∴，即，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面
（2）①由（1）易知平面，∴即为直线与平面所成角.∴，∴，则∴.②取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以、、为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，则，，得，取，，得设平面的法向量，则，，取，，，得.∴.所求二面角为锐角，二面角的余弦值为.
4． (2023·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改变，
【解析】(1)取的中点为，连接，，
因为，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
(2)
取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，即，
令，即.
又平面的法向量，
所以，
即随着值的变化，二面角的大小不变．
且.
所以二面角的正弦值为.
5．（2023·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.
(1)求证：平面平面.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明：因为平面平面，
平面平面，平面
∴平面
又平面，所以
又，且
∴平面
又平面，所以平面平面
(2)
取的中点O，连接
如图：以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则点
，，，
设平面的法向量
则有取,
设平面的法向量
即，取，可得
即平面的一个法向量
设二面角大小为，由图知为锐角
6． (2023·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)若，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取的中点，连接，，
因为是等边的中线，所以
因为是棱的中点，为的中点，
所以，且
因为，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为，为的中点，所以，从而.
又，且平面，平面，
所以平面.
(2)
由（1）知，又，，且､平面，
所以面，从而平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由得
令，则，，所以.
又平面的一个法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.