2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.2 等比数列（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.2 等比数列（精练）（提升版）（原卷版+解析版），共18页。
A．20B．12C．8D．4
2． (2023·全国·高三专题练习（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
3． (2023·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
4． (2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
5． (2023·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知为公差不为0的等差数列的前n项和.若，，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．23D．24
6． (2023·安徽·合肥市第七中学二模（理））正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
题组二 等比中项
1． (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
2． (2023·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3． (2023·山西阳泉·高三期末（理））两数1､9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（ ）
A．或B．或C．D．
4． (2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·内蒙古包头·高一期末）在正项等比数列中，，则（ ）
A．5B．10C．50D．10000
6． (2023·全国·高三专题练习）实数 ，，，，等比数列，则xyt等于（ ）
A．-4B．1C．8D．-8
7． (2023·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知中，，、分别是、的等差中项与等比中项，则的面积等于（ ）
A．B．C．或D．或
题组三 前n项和的性质
1． (2023·江西·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36B．39C．40D．44
2. (2023·辽宁大连）已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A．B．3C．D．1
3． (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）等比数列中，已知，则数列的前16项和为
A．20B．C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
题组四 最值问题
1． (2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
3． (2023·全国·模拟预测）已知等比数列中，，则的最小值为___________.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．
题组五 等比数列的实际运用
1． (2023·河北沧州）（多选）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了96里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
D．此人第五天和第六天共走了30里路
3． (2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结果精确到0.1．参考数据：，．）
A．2.9天B．3.9天C．4.9天D．5.9天
4． (2023·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元B．26000元C．30000元D．32000元
5． (2023·全国·高三专题练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
7． (2023·全国·高三专题练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为___________里.（取1.18=2.14）
6.2 等比数列（精练）（提升版）
题组一 基本量的计算
1． (2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
【答案】C
【解析】设的公比为q，则，
解得，所以，故选：C．
2． (2023·全国·高三专题练习（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，
所以，则，解得，所以.故选：D.
3． (2023·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14B．34C．41D．86
【答案】C
【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，
所以，
所以，解得.故选：C.
4． (2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，化为：，解得．故选：D
5． (2023·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知为公差不为0的等差数列的前n项和.若，，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．23D．24
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
化简得（舍去）或，所以.选：C
6． (2023·安徽·合肥市第七中学二模（理））正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】由题意可知，，，成等差数列，所以，即，
所以，或（舍），所以，，故选：D.
题组二 等比中项
1． (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.故选：B.
2． (2023·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在等比数列中，若，是方程的两实根，
，，则，，
则，则或，即充分性成立，
当，或时，能推出，但无法推出，即必要性不成立，
即“，是方程的两实根”是“，或”的充分不必要条件，故选：A．
3． (2023·山西阳泉·高三期末（理））两数1､9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，
若，曲线方程为，表示椭圆，离心率为，
时，曲线方程为，表示双曲线，离心率为．
故选：A．
4． (2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
5． (2023·内蒙古包头·高一期末）在正项等比数列中，，则（ ）
A．5B．10C．50D．10000
【答案】A
【解析】因为，所以，
因此，.故选：A.
6． (2023·全国·高三专题练习）实数 ，，，，等比数列，则xyt等于（ ）
A．-4B．1C．8D．-8
【答案】D
【解析】设，，，，，由等比数列知，
，因为，所以，所以，故选：
7． (2023·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知中，，、分别是、的等差中项与等比中项，则的面积等于（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】由于、分别是、的等差中项与等比中项，
则，得，
，得.
由余弦定理得，整理得，
，解得或.
当时，的面积为；
当时，的面积为.
综上所述，的面积为或.故选：D.
题组三 前n项和的性质
1． (2023·江西·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36B．39C．40D．44
【答案】B
【解析】由题可得，由，得，
解得，所以，所以.故选：B．
2. (2023·辽宁大连）已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【解析】等比数列的前项和为，
当时，可得，可得，
当时，，则
所以
因为为等比数列，所以，即
解得，经检验符合题意.故选：C．
3． (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时,,
当时，
所以，故选B.
4． (2023·全国·高三专题练习）等比数列中，已知，则数列的前16项和为
A．20B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，，则，根据等比数列的性质可知构成公比为等比数列，，且，故选B．
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
故选：C．
题组四 最值问题
1． (2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.
2． (2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
【答案】C
【解析】由于，，成等比数列，所以，
∴，
解得∴，∴
所以，由双勾函数性质知在上单调递增，所以当时，取得最小值为：，所以的最小值为.
故选：C.
3． (2023·全国·模拟预测）已知等比数列中，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】设的公比为，由等比数列的知识可知，，
结合可得，.
由基本不等式及等比数列的性质可得，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为.故答案为：.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由题知，，
又，则，当且仅当时，等号成立.
即的最小值是故答案为：
题组五 等比数列的实际运用
1． (2023·河北沧州）（多选）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
【答案】ABC
【解析】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；
依题意，，则.
又时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确
所以，
当时，，
所以，所以C正确，错误.
故选：ABC.
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了96里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
D．此人第五天和第六天共走了30里路
【答案】AC
【解析】设此人第天走了里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，其前n项和为Sn，
因，即，解得，，
由于，即此人第二天走了96里路，A正确；
由于，，B错误；
后五天走的路程为(里)，(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C正确；由于，D错误.故选：AC故答案为：１或.
3． (2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结果精确到0.1．参考数据：，．）
A．2.9天B．3.9天C．4.9天D．5.9天
【答案】C
【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，由题意可得：，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．∴n．故选：C．
4． (2023·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取，）
A．24000元B．26000元C．30000元D．32000元
【答案】D
【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，
，、
同理可得，所以，而，
所以数列是等比数列，公比为，
所以，，
总利润为．
故选：D．
5． (2023·全国·高三专题练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，从塔底数第二层灯的盏数为，
故选：C.
6． (2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
7． (2023·全国·高三专题练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为___________里.（取1.18=2.14）
【答案】4560
【解析】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为400，公比为1.1，
故这8匹马的最长日行路程之和为里.
故答案为：4560.