2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

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2． (2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
3． (2023·黑龙江双鸭山）已知数列满足：，，，则______．
4． (2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.求数列的通项公式 ；
5． (2023·全国·高三专题练习）数列满足，求数列的通项公式 .
6． (2023·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为的数列的前项和为，且，则______．
题组二 累乘法
1．（2022·浙江）已知数列满足，则数列的通项公式是______
2． (2023·上海）若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______.
3．（2022·江苏）已知数列的前项和为，且，（），则
4． (2023·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an等于
5． (2023·安徽）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
题组三 公式法
1． (2023·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
2． (2023·湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
3． (2023·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．
4． (2023·湖南·长郡中学一模）已知正项数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式
5． (2023·天津·静海一中）已知数列的前项和为，且,求的值，并证明：数列是一个常数列；
6． (2023·全国·单元测试）数列满足，．求的通项公式；
7． (2023·四川）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
8． (2023·广东佛山·二模）已知数列{}的前n项和为，且满足
求、的值及数列{}的通项公式：
9． (2023·江苏省灌云高级中学）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
10． (2023·海南·模拟预测）设数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；
题组四 构造等差数列
1． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
4． (2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
5 (2023·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
题组五 构造等比数列
1． (2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·山西师范大学实验中学）已知数列满足，，则___________.
3． (2023·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则的前n项和为___________.
4． (2023·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.
6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）
题组一 累加法
1． (2023·湖北）在数列中，，则数列中最大项的数值为___．
【答案】10
【解析】当时，所以当时，数列{}中最大项的数值为10.故答案为：10.
2． (2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
【答案】
【解析】因为数列满足，，
所以当时，.
所以，，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，
故答案为：
3． (2023·黑龙江双鸭山）已知数列满足：，，，则______．
【答案】.
【解析】因为，，
所以当时，有，
因此有：，
即，
当时，适合上式，
所以，
故答案为：.
4． (2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.求数列的通项公式 ；
【答案】
【解析】(1)因为，所有，
当时，，，……，，相加得，所以，
当时，也符合上式，所以数列的通项公式
5． (2023·全国·高三专题练习）数列满足，求数列的通项公式 .
【答案】
【解析】根据题意，可得到，，
，……
将以上个式子累加可得，,
，，又 满足，所以
6． (2023·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为的数列的前项和为，且，则______．
【答案】
【解析】依题意，，则，
故，
， ， ，…，，
累加可得， ，
，
当n=1时， 也成立，
故，
；
故答案为： .
题组二 累乘法
1．（2022·浙江）已知数列满足，则数列的通项公式是______
【答案】
【解析】∵∴，即，
∴，∴.n=1也适合故答案为：.
2． (2023·上海）若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______.
【答案】
【解析】 数列中，，，，
．故答案为：．
3．（2022·江苏）已知数列的前项和为，且，（），则
【答案】B
【解析】由题得（）所以（）
由题得，所以（）.
所以所以.
所以.故选：B
4． (2023·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an等于
【答案】(n＋1)3
【解析】当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝，
得4(Sn－1＋1)＝，两式相减，得4an＝－，
即，所以an＝,an＝＝(n＋1)3，
经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)3
5． (2023·安徽）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】根据题意，数列中，，，①，②，
①②可得：，变形可得：，
则；
时，符合；故答案为：．
题组三 公式法
1． (2023·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当时，，
当时，
经检验当时不符合，
所以，
故答案为：，
2． (2023·湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】由得：
（且）
（且）即（且）
数列是第二项起公比为的等比数列，
（且）又不满足上式，
3． (2023·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
当时，；
当时，；
经检验：不满足；
故答案为：.
4． (2023·湖南·长郡中学一模）已知正项数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式
【答案】
【解析】(1)∵，∴．
当时，，∴，∴，
∵，∴．
∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵，∴为等差数列，通项公式为．
5． (2023·天津·静海一中）已知数列的前项和为，且,求的值，并证明：数列是一个常数列；
【答案】，证明见解析
【解析】(1)证明：因为，且．
令，有，解得，
由，有，
两式相减有，化简整理得，
又，，所以，
所以数列是一个常数列．
6． (2023·全国·单元测试）数列满足，．求的通项公式；
【答案】
【解析】由，
当时，，
两式相减得，
则，
因为，所以，
所以，
则
，
以上各式相乘得：，
所以，
当时，上式也成立，
所以；
7． (2023·四川）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，得
，即，解得：(舍或.
(2)由，得，即或（舍）
当时，．
当时，．验证时上式成立，．
8． (2023·广东佛山·二模）已知数列{}的前n项和为，且满足
求、的值及数列{}的通项公式：
【答案】；；
【解析】因，取和得：，
即，解得，由得：，
数列是首项为，公差的等差数列，则，即，
当时，，而满足上式，因此，，
所以，数列{}的通项公式.
9． (2023·江苏省灌云高级中学）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1)3(2)an＝2n＋1
【解析】(1)由所给条件知，当n＝1时 ，
整理得 ，由于 ，得 ；
(2)由条件得 ， ，
①- ②得 ，
整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，
因为：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2）， 是首项为3，公差为2的等差数列，
，
故 .
10． (2023·海南·模拟预测）设数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为数列的前n项和为，，，
当时，，
两式相减可得，
即，可得，即，
当时，，所以，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以数列的通项公式.
题组四 构造等差数列
1． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，
以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.
故选：B.
2．（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.
【答案】
【解析】由题设，，即，而，
∴是首项、公差均为的等差数列，即，
∴.故答案为：
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【解析】∵，∴，
即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴数列的通项公式．故答案为：.
4． (2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
【答案】．
【解析】由，得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．
5 (2023·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
【答案】
【解析】因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
题组五 构造等比数列
1． (2023·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
2． (2023·山西师范大学实验中学）已知数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】由已知可得，设，则，
所以，，可得，所以，，且，
由题意可知，对任意的，，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，因此，.
故答案为：.
3． (2023·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则的前n项和为___________.
【答案】
【解析】数列满足，整理得：，所以，
又，故是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，所以的前项和
故答案为：
4． (2023·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题设，，则是首项、公比都为2的等比数列，
所以，则，
，则在上递增，
所以，要使恒成立，则.
故答案为：