2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 6.4 求和方法（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

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（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn．
2． (2023·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
题组二 裂项相消求和
1． (2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
2． (2023·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3． (2023·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
4． (2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
5． (2023·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
6． (2023·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
题组三 错位相减求和
1． (2023·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和．
2． (2023·广东肇庆·二模）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
3． (2023·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4． (2023·广东·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
5． (2023·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
题组四 分组求和
1． (2023·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2． (2023·江苏南京·高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
5． (2023·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：数列的前n项和.
6． (2023·云南·一模（理））已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
7． (2023·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
题组五 周期数列
1． (2023·全国·高三专题练习（理））已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.
2． (2023·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则______．
题组六 倒序相加法
1． (2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
2． (2023·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（ ）
A．B．1010C．2019D．2020
3． (2023·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则
A．2016B．2017C．2018D．2019
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
6.4 求和方法（精练）（提升版）
题组一 公式法求和
1． (2023·黑龙江）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，
则∴，∴．
（2），∴，
∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
∴．
2． (2023·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，
则，
将代入并化简得，解得或(舍去).
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列可得，
解得，，
所以.
(2)由可得，
所以，
所以
.
题组二 裂项相消求和
1． (2023·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为，
所有，
当时，，，……，，
相加得，所以，
当时，也符合上式，
所以数列的通项公式；
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以，
．
所以．
2． (2023·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【解析】(1)解：（1）由，得.
又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.
故，即.
(2)由，
故
，
故
．
3． (2023·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为数列满足， 所以，所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.
(2)，
所以，
因为，所以.
4． (2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)当时，由，得或，
∵，∴，
由，得
当时，
由，得，
整理得，
∵，∴≠0，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）得，
，
∴．
5． (2023·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，
故，解得或（舍），故，，
因为，故，
又，
故数列是公差为的等差数列.
(2)因为，
故，
又是单调增函数，且，
又当时，，故，即证.
6． (2023·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
题组三 错位相减求和
1． (2023·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列的前n和为，若，且 ，求数列的前n项和．
【答案】选①，；选②，；选③，.
【解析】选①：当n≥2时，因为，
所以，
上面两式相减得．
当n＝1时，，满足上式，所以．
因为，
所以，
上面两式相减，得：，
所以．
选②：当时，因为，所以，
上面两式相减得，即，经检验，，
所以是公比为－1的等比数列，．
因为，
所以．
选③：由，
得：，
由累加法得：．
又，所以．
因为，
所以，
上面两式相减得，
所以．
2． (2023·广东肇庆·二模）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列；
(2)解：由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，则，
故.
3． (2023·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，
(2)
【解析】(1)解：若选①：由，则，
可得
将上述个式子相加，整理的
又因为，所以.
若选②：，当时，，
当时，
所以，所以.
综上，
若选③：，当时，，
当时，由可得，所以，所以.
经检验当时也成立，所以；
设等差数列的公差为，
由题有，即，解得
从而
(2)
解：由（1）可得，
令的前项和是，则，
，
两式相减得，
，
整理得；
4． (2023·广东·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由，得，
又，所以，故，
故是以为首项，以为公比的等比数列．
(2)由（1）得，得，
所以，设的前n项和为，
则，①
，②
由①-②，得
，则，
故．
5． (2023·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)由，得，
所以是等比数列.
所以
从而
所以，．
(2)设
即，所以，，
于是，．
因为，且，
所以，使成立的最大正整数．
题组四 分组求和
1． (2023·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【解析】(1)由得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
由可知数列是等差数列，首项，公差，
所以.
(2)
即
2． (2023·江苏南京·高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a1=1
若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，
即有，解得或d=0（舍去）
则.
(2)解：
可得前项和
.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.
【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为
(2)
则
当n为偶数时，；当n为奇数时，.
4． (2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)依题意，，则，
故，解得d＝2，∴，
故，.
(2)依题意，得，
故，
故
5． (2023·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：数列的前n项和.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)设数列的公比为q，
由，得，所以.
因为，，成等差数列，所以，
即，解得.
因此.
(2)因为，
所以
.
因为，，所以.
6． (2023·云南·一模（理））已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵，∴.∴.
∵数列的前项和为，∴.
∴.所以数列是首项为，公比为的等比数列.∴.
当时，由和得，解方程得.
∴.∴数列的通项公式为.
(2)由（1）知：.
∴.
∴.
∴
.
7． (2023·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，
由已知可得，即，解得，故，
.
(2)证明：因为，，则，
因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，
因此，，因此，.
(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.
当，，
则，
，
上式下式得
，
故.
当时，
，
所以，
，
因此，.
题组五 周期数列
1． (2023·全国·高三专题练习（理））已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.
【答案】
【解析】
，
∴.故答案为：
2． (2023·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则______．
【答案】
【解析】由得.
又因为,故.故.
故,…，.
累加可得.
故,故
故答案为：
题组六 倒序相加法
1． (2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】因为函数满足，
①，
②，
由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（ ）
A．B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足
即2020
故选：D
3． (2023·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
设，
则，
两式相加得，因此，.故选：B.
4． (2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则
A．2016B．2017C．2018D．2019
【答案】C
【解析】函数，函数的导数，，
由得，解得，而，故函数关于点对称，
，故设，
则，
两式相加得，则，故选C.
5． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
由，得，
又也满足上式，所以，
则为常数，所以数列为等差数列；
所以，
.
则数列的前项和为，
记，则，
所以，因此.
故选：D．
6． (2023·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
【答案】C
【解析】由已知，数列通项，所以，
所以，所以.故选：C.