2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 7.2 空间几何的体积与表面积（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 7.2 空间几何的体积与表面积（精练）（提升版）（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了柱锥台的体积，球的体积与表面积等内容，欢迎下载使用。
1． (2023·陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知中，，，是斜边上的高，与绕旋转一周得到的几何体的表面积分别为和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·宁夏石嘴山·一模（文））过圆锥的顶点作圆锥的截面，交底面圆于，两点，已知圆的半径为，，，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )
A．B．C．D．
6． (2023·江西·赣州市第三中学）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7 (2023·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
8． (2023·湖北·武汉二中模拟预测）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则___________.
题组二 柱锥台的体积
1． (2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
2． (2023·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．三棱锥的表面积为
D．三棱锥的体积为
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
5． (2023·重庆）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A．底面边长为4米B．侧棱与底面所成角的正弦值为
C．侧面积为平方米D．体积为32立方米
题组三 球的体积与表面积
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·江苏南通·模拟预测）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
3（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______
5． (2023·湖南岳阳·模拟预测）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则 ________
6． (2023·全国·高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．
题组四 空间几何截面
1． (2023·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
3．（2022湖南）古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为______ 平方米.
4．（2022·甘肃）轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为的球的球面上，则该圆柱的体积为_________.
7.2 空间几何的体积与表面积（精练）（提升版）
题组一 柱锥台的表面积
1． (2023·陕西西安）一个直角三角形的两条直角边长分别为2和，将该三角形的斜边旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，在直角中，，可得，
可得，即旋转体的底面圆的半径为，所以该旋转体的表面积为：
.故选：A.
2． (2023·山东日照）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，是正四棱锥的高，
设底面边长为，则底面积为，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，
所以，又，所以，
所以是正三角形，面积为，
所以，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为故选：D.
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知中，，，是斜边上的高，与绕旋转一周得到的几何体的表面积分别为和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，，，过点作，垂足为，则，所以
，，所以．
故选：A.
4． (2023·宁夏石嘴山·一模（文））过圆锥的顶点作圆锥的截面，交底面圆于，两点，已知圆的半径为，，，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图所示，在中
因为且所以为正三角形所以
所以圆锥的侧面积故选：B
5． (2023·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示为该圆锥轴截面，
由题意，底面圆半径为，母线，侧面积πrl＝π×3×＝6﹒
故选：B.
6． (2023·江西·赣州市第三中学）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即接下来的圆弧所在的扇形的半径是3+5=8，对应的弧长.
设圆锥底面半径为r，则，即r=2.
该圆锥的表面积为.
故选：B.
7 (2023·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
【答案】BCD
【解析】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，
由可得，则，，又，则，
即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.
故选：BCD.
8． (2023·湖北·武汉二中模拟预测）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则___________.
【答案】
【解析】由题意，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为，所以.故答案为：.
题组二 柱锥台的体积
1． (2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.
取BC的中点E，连接.
因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.
因为，所以在直角三角形中,，
则的面积为，
故该四棱锥的侧面积是.故选：C
2． (2023·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【解析】根据题意可得，容器下底面面积为，上底面面积为,
因为容器中积水高度为容器高度的，则积水上底面恰为容器的中截面，
所以积水上底直径为cm，积水上底面面积为，
所以积水体积为，
则平地降雨量是cm.故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．三棱锥的表面积为
D．三棱锥的体积为
【答案】D
【解析】因为平面,平面,平面,,所以直线与为异面直线,故A对.平面，平面，平面，故B对.
,,所以三棱锥的表面积为，故C对.,故D 错.故选:D
4． (2023·全国·高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．
5． (2023·重庆）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A．底面边长为4米B．侧棱与底面所成角的正弦值为
C．侧面积为平方米D．体积为32立方米
【答案】BD
【解析】如图，在正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，，
设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，
所以，则，，，
所以，即，可得．
底面边长为米，A错误；侧棱与底面所成角的正弦值为，B正确；
侧面积，C错误；体积，D正确．故选：BD
题组三 球的体积与表面积
1． (2023·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，
小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得：，
∴，故选：D.
2． (2023·江苏南通·模拟预测）如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，，，，则，∴，即，
而，即，∴，∴．故选：C．
3（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，
设母线为，则，
所以直角圆锥的侧面积为：，
可得：，，圆锥的高，
由，解得：，
所以球的体积等于，
故选：B
4． (2023·全国·高三专题练习）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______
【答案】
【解析】球的半径为，，解得，圆柱的高为：．可得．
故答案为：．
5． (2023·湖南岳阳·模拟预测）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则 ________
【答案】
【解析】由图知，包装盒的高为，因此，，又，所以.
故答案为：
6． (2023·全国·高三专题练习）已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
【答案】
【解析】问题等价于求圆锥的内切球的半径r，
由题意得：圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为2，则内切圆半径为，即，
所以，解得.故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】由题可得均为等腰直角三角形，如图，
设的中点为，
连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为．
故答案为：
题组四 空间几何截面
1． (2023·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为，轴截面为等腰三角形PAB，面积为，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以，解得：
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，则，，圆锥的高，
设轴截面中两母线夹角为，则，，
所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为.
故答案为：
3．（2022湖南）古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为______ 平方米.
【答案】
【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为米，
于是其侧面积为（平方米）.故答案为：．
4．（2022·甘肃）轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为的球的球面上，则该圆柱的体积为_________.
【答案】
【解析】因为轴截面为正方形，所以它的底半径与高之比为，
设底半径为，高为，则外接球的半径，
因为球的直径为，所以，解得，则高为，
所以圆柱的体积为.故答案为：