2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 8.3 分布列（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 8.3 分布列（精练）（提升版）（原卷版+解析版），共27页。

（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
2. (2023·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
3． (2023·湖南永州·三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：
(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；
(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.
题组二 二项分布
1． (2023·广东汕头·一模）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
2． (2023·广东茂名·一模）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？
(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望.
附表：
题组三 独立事件
1． (2023·广东·一模）小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：
(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？
(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.
2 (2023·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
3． (2023·广东茂名·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
题组四 条件概率
1． (2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ）
A．0.6B．0.375C．0.36D．0.216
3． (2023·宁德模拟）从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·凉山模拟）设A，是两个事件，且发生A必定发生，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·淄博模拟）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立
B．
C．
D．
6． (2023·江阴模拟）已知随机事件M，N，，则的值为 ．
7． (2023·江苏无锡·模拟预测）已知随机事件M，N，，则的值为________．
8． (2023·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（理））甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
题组五 正态分布
1． (2023·滨州二模）设随机变量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2． (2023·东北三省模拟）已知随机变量，下列表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·厦门模拟）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，）
A．0.1587B．0.0228C．0.0027D．0.0014
4． (2023·河南模拟）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ）
参考数据：若，则．
A．4B．5C．6D．7
5． (2023·呼和浩特模拟）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ．
6 (2023·广东广东·一模）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，）摸取到的红球个数
2
3
4
中奖等级
三等奖
二等奖
一等奖
有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.150
0.100
0.050
k0
0.455
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
前一天
当天
篮球
羽毛球
游泳
篮球
0.5
0.2
0.3
羽毛球
0.3
0.1
0.6
游泳
0.3
0.6
0.1
运动项目
篮球
羽毛球
游泳
能量消耗/卡
500
400
600
8.3 分布列（精练）（提升版）
题组一 超几何分布
1. (2023·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
【答案】（1）分布列见解析；（2）.
【解析】（1）由条件可知，
，，，
所以的分布列，如下表，
（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
2. (2023·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）
【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则．
（II）由题意所有可能的取值为：，，，.
；
；
；
．
所以随机变量的分布列为
随机变量的均值为
．
3． (2023·湖南永州·三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：
(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；
(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件，则事件包含的基本事件有：, 基本事件总数为：，
∴ ∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为.
(2)解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为，可以取0，15，20，200，
故的分布列为
的数学期望
由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值，
所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.
题组二 二项分布
1． (2023·广东汕头·一模）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【解析】(1)依题意，，的可能取值为：0,1,2,3，
；
.
X的分布列为：
.
(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.
依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件，或“甲VS乙：3:1”记为事件，则，且与互斥.
依题意有：，
，
.
2． (2023·广东茂名·一模）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？
(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为， 求的分布列和期望.
附表：
【答案】(1)表格见解析，没有；
分布列见解析，.
【解析】(1)
由题意得到如下的2×2列联表，
，
由表格得到，
所以没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”.
(2)
由题意，知，
；；
；，
所以的分布为
所以期望.
题组三 独立事件
1． (2023·广东·一模）小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：
(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？
(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.
【答案】(1)第三天打羽毛球的可能性最大
(2)分布列见解析，期望为1428卡
【解析】(1)用A，B，C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用，，分别表示第n天小王进行A，B，C三种运动项目的概率.
因为小王第一天打羽毛球，
所以第2天小王做三项运动的概率分别为，，.
第3天小王做三项运动的概率分别为，
，
，
所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.
(2)
小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9种，
运动能量消耗总数用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5种可能，
，
，
，
，
，
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为
能量消耗总数X的期望
（卡）
所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.
2 (2023·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
【答案】(1)
(2)乙
【解析】(1)设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
(2)设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
所以,
所以，所以乙的得分能力更强.
3． (2023·广东茂名·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】(1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为.
(2)由题意，甲同学的累计得分可能值为，
；；
；；；
分布列如下：
所以期望.
题组四 条件概率
1． (2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；
因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
因为，所以，故选项D正确.
故选：C.
2． (2023·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（ ）
A．0.6B．0.375C．0.36D．0.216
【答案】A
【解析】设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，
所以，，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.故答案为：A
3． (2023·宁德模拟）从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有种可能情况，
对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，由于，故由条件概率公式得，D选项正确.
故答案为：D
4． (2023·凉山模拟）设A，是两个事件，且发生A必定发生，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】发生必定发生，
（A），（B），A，D不符合题意，
，B不符合题意，
，C符合题意．
故答案为：C．
5． (2023·淄博模拟）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立
B．
C．
D．
【答案】B,D
【解析】由题意，，，
先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，
所以，B符合题意；，，
，C不符合题意；
则，，，A不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：BD
6． (2023·江阴模拟）已知随机事件M，N，，则的值为 ．
【答案】
【解析】依题意得，所以
故．故答案为：．
7． (2023·江苏无锡·模拟预测）已知随机事件M，N，，则的值为________．
【答案】
【解析】依题意得，所以
故．
故答案为：．
8． (2023·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（理））甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.
①事件，相互独立；②；③；④；⑤．
【答案】③④⑤
【解析】依题意，，和是两两互斥事件，
，，
又，①②错误；
又，，
，③④正确；
，⑤正确；
故答案为：③④⑤.
题组五 正态分布
1． (2023·滨州二模）设随机变量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，根据正态曲线的对称性可知 ，故 不是 的充分条件；反之，若 ，由对称性可知 ，故 是 的必要条件；
故 是 的必要不充分条件，故答案为：B
2． (2023·东北三省模拟）已知随机变量，下列表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因此，，
因此B、D不正确，C符合题意，
又因为，所以A不正确，故答案为：C
3． (2023·厦门模拟）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，）
A．0.1587B．0.0228C．0.0027D．0.0014
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，
所以，，
由题意，，且，，
因为，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，
故答案为：B.
4． (2023·河南模拟）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（ ）
参考数据：若，则．
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】因为体温X服从正态分布 ，
所以 ，
因为X的值在 内的概率约为0.9973，
根据参考数据知 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 。
故答案为：B.
5． (2023·呼和浩特模拟）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ．
【答案】0.6
【解析】因为 ，所以所对应的正态曲线关于 对称，
因为 ，所以 ，
所以 ；故答案为：0.6
6 (2023·广东广东·一模）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛，若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：，）
【答案】(1)中位数为，方差为；
(2)①4；②分布列见解析，数学期望为.
【解析】(1)这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，
所以中位数为，平均数为，
所以方差.
(2)①由（1）知：，，
，
该班学生成绩在的人数为.
②随机变量，显然X服从二项分布，其分布列为，其中，
所以，.1
2
3
4
摸取到的红球个数
2
3
4
中奖等级
三等奖
二等奖
一等奖
0
15
20
200
X
0
1
2
3
P
有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.150
0.100
0.050
k0
0.455
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
有兴趣
没兴趣
合计
男
85
15
100
女
80
20
100
合计
165
35
200
0
1
2
3
前一天
当天
篮球
羽毛球
游泳
篮球
0.5
0.2
0.3
羽毛球
0.3
0.1
0.6
游泳
0.3
0.6
0.1
运动项目
篮球
羽毛球
游泳
能量消耗/卡
500
400
600
X
1200
1300
1400
1500
1600
P
0.01
0.09
0.57
0.27
0.06
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
50
100
150
200
X
0
1
2
3
4
P