2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用） 重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）(原卷版+解析版）

这是一份2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用） 重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）(原卷版+解析版），共52页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

题型一：函数与方程思想
一、单选题
1． (2023·广西柳州·三模（理））若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
2． (2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数， 函数， 满足， 则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3． (2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ）
A．y=﹣2xB．y=x﹣6C．y=D．y=x2﹣3x+4
三、双空题
4． (2023·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边上分别取点E，F，G，且满足，在△内建造喷泉瀑布，在△内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当______时，栈道最短，此时_______．
四、解答题
5． (2023·全国·模拟预测）．
（Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：．
6． (2023·河南平顶山·高三阶段练习（理））已知函数在处的切线与直线平行
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.
7． (2023·全国·高三专题练习）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：，
题型二：数形结合思想
一、单选题
1． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
2． (2023·河南·西南大学附中高三期中（文））已知函数，若存在实数当时，满足则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（ ）
A．与有关，且存在最大值B．与有关，且存在最小值
C．与有关，但无最值D．与无关，为定值
二、多选题
4． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数是周期函数B．函数有唯一零点
C．函数有无数个极值点D．函数在上不是单调函数
三、双空题
5． (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．
6． (2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数则函数的最小值为________；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是________．
四、填空题
7． (2023·河南·模拟预测（理））已知函数，，若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______.
题型三：分类与整合思想
一、多选题
1． (2023·重庆南开中学模拟预测）已知函数，其中常数，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的定义域为
B．当，时，函数有两个极值点
C．不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点
D．若，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件
二、解答题
2． (2023·四川南充·三模（理））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，若，求证：对于任意，函数有唯一零点．
3． (2023·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数，，常数a是实数.
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
(2)，都有，求a的取值范围.
4． (2023·湖南师大附中二模）已知函数.
(1)若，比较与的大小；
(2)讨论函数的零点个数.
5． (2023·河北唐山·二模）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．
(1)求b的值以及l的方程；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由．
6． (2023·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
7． (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
(2)讨论函数在区间上的零点个数．
【答案】(1)
(2)当或时，在上无零点；
当或时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点．
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1． (2023·广西南宁·二模（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
2． (2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4． (2023·广东广州·二模）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5． (2023·江苏·高三阶段练习）若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（ ）
A．数列为等比数列B．数列单调递增
C．D．数列的前项和为，则.
三、填空题
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
7． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值集合是_________．
四、解答题
8． (2023·山西晋中·模拟预测（理））已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若为函数的极大值点，求实数的取值范围.
9． (2023·江西·临川一中高三期中（文））设m为实数，函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个实数根，证明：.（注：是自然对数的底数）
10． (2023·广东·高三阶段练习）若，且直线与曲线相切.
(1)求的值；
(2)证明：当，不等式对于恒成立.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1． (2023·全国·高三专题练习（文））若曲线在处的切线也是的切线，则（ ）
A．-1B．-2
C．2D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论中错误的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，其导函数记为，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．−2
二、填空题
4． (2023·全国·高三专题练习）有如下结论：若无穷等比数列的公比满足，则它的各项和．已知函数?(?)=?2−2?,0⩽?⩽213?(?−22),?>2，则的图象与轴围成的所有图形的面积之和为__．
重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1． (2023·广西柳州·三模（理））若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合题设可得，再根据目标式构造，利用导数求其最大值即可.
【详解】由题设，，则，而，
所以处的切线方程为，
则，故，
令，则，
当时，，即递增；当时，，即递减；
所以，故的最大值.
故选：A
2． (2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数， 函数， 满足， 则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设是的两个零点且，应用根与系数关系求得，，进而代换目标式得到以为参数、为自变量的二次函数，由二次函数的性质可得，构造函数并应用导数研究单调性，即可求最大值.
【详解】令是的两个零点，由题设若，
由根与系数关系有：，，
所以，
由且，即，
所以，
令，则，在上，
所以在上递增，则.
综上，，此时，
所以时，的最大值.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设的零点并注意，由根与系数关系用零点表示m、n，进而转化为以为自变量的二次函数形式，根据其开口方向及其最值得到不等关系，最后构造函数并应用导数求不等式中关于表达式的值域.
二、多选题
3． (2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ）
A．y=﹣2xB．y=x﹣6C．y=D．y=x2﹣3x+4
【答案】AC
【分析】横纵坐标相等的函数即，与有交点即存在完美点，依次计算即可.
【详解】横纵坐标相等的函数即，与有交点即存在完美点，
对于A,，解得，即存在完美点，
对于B,，无解，即不存在完美点，
对于C,，解得或，即存在完美点，
对于D,， ,即，解得，即不存在完美点，
故选：AC.
三、双空题
4． (2023·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边上分别取点E，F，G，且满足，在△内建造喷泉瀑布，在△内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当______时，栈道最短，此时_______．
【答案】
【分析】由题设有△△，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值.
【详解】由题意， △△，
设，则．
在△中，得，则．
由于，解得.
令，，则．
令，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，有最大值，则.
故答案为：，．
【点睛】关键点点睛：注意根据，的长度判断对应三角函数值的范围.
四、解答题
5． (2023·全国·模拟预测）．
（Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系及零点的性质，即可求解；
（Ⅱ）构造函数，利用零点存在性定理及导数与函数单调性的关系即可得证．
【详解】（Ⅰ）由题得定义域为，．
∵有两个极值点，
∴在内有两个零点．
设函数，
则，
当时，，
则在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，
可得的最小值为，
∴．
（Ⅱ）证明：，
设的两根为，，且，
∴，，
可得，
当时，，
∴，
当时，
依题意有三个不同的零点，
∴，，
构造函数，
则，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
所以在上单调递减，
且，，
，，
根据零点存在性定理得，使；，使．令，，则，，
又，，，
∴．
6． (2023·河南平顶山·高三阶段练习（理））已知函数在处的切线与直线平行
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.
【答案】（1），极小值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求出的值，解关于导函数的不等式，分析函数的单调区间即可得到极值；
（2）令，，构造函数，原题转化为有两个实数根，，利用导数可得，再构造函数，利用导数可得，利用单调性，可得转化为即可求证.
【详解】（1）函数的定义域为，，
由题意知，
，令，则，
当时，；时，.
的极小值为
（2）由（1）知，由得，
即，
所以.
，不妨设
令，，
则原题转化为有两个实数根，，
又，令，得；令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
又时，，，，
由图象可知，，.
设，
则.
当时，，则
在上单调递减.
又
时，，得到，即，
又，，
又，则，且，在上单调递增，
，即，即.
7． (2023·全国·高三专题练习）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：，
【答案】(1)
(2)需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.
【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；
（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.
(1)由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩个，
则
所以y关于x的函数关系式为，
(2)由（1）知
令，即，解得（舍）或
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
所以当时，y有最小值，
且
又
（万元）
所以需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【答案】C
【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
2． (2023·河南·西南大学附中高三期中（文））已知函数，若存在实数当时，满足则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦函数的性质可知，，，，所以，令，利用导数得到函数的单调性和极值，求出在时的值域，从而得到的取值范围．
【详解】由正弦函数的性质可知，，，，
，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又当时，，且，
，
，
的取值范围为，
故选：D．
3． (2023·全国·高三专题练习）如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（ ）
A．与有关，且存在最大值B．与有关，且存在最小值
C．与有关，但无最值D．与无关，为定值
【答案】D
【分析】先证明一个结论：函数的图象上任取一点，.
过点作其切线交于点，过点作交于另两个点 ，则；利用该结论即可求出的横坐标关于的表达式，进而求出直线与的方程，联立直线与的方程，即可求出点的横坐标，再根据，即可求出结果.
【详解】先证函数的图象上任取一点，.
过点作其切线交于点，过点作交于另两个点 ，则.
证明:设过点的直线为，联立得: ，得方程
则方程必有一根，于是方程可改写为，其中，
当与相切于点时，方程有重根，韦达定理知；
当与相交于点时，方程有另两个根，
韦达定理知.
故.
由于函数的图象关于原点对称，
设，连结，交于另一点，由对称性，则，由上述结论，则，所以；
设，连结交于另一点由对称性，则，由上述结论，则，所以.
于是直线为，直线为，
联立得: ，解得，
所以，故的取值与无关，为定值.
故选：D.
二、多选题
4． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数是周期函数B．函数有唯一零点
C．函数有无数个极值点D．函数在上不是单调函数
【答案】CD
【分析】根据不是周期函数，从而可判断选项A错误；
令，，，
作出与的图象，由图象可判断选项B；
作出与的图象，由图可判断选项C；
通过图象可判断在不单调，从而可判断选项D.
【详解】，
因为不是周期函数，则不是周期函数，A错；
令，，，
令，则，
作出与的图象，由图可知，与的图象至少有两个交点，
至少有两个零点，至少有两个零点，B错误；
作出与的图象，由图可知，有无数个零点
有无数个极值点，即有无数个极值点，C正确；
因为在有零点，所以在不单调，
在不单调，D正确；
故选：CD.
三、双空题
5． (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】 或2； .
【分析】（1）当时，运用导数求得函数单调区间，可得，可得一根，当时，直接求解可得.
（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有3个零点所需要的条件，即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，所以，
令，得，并且当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故当时，有唯一根，
当时，，令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2；
（2）因为，
当时，由（1），则，
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且仅当，且，
因为当时，则有或，
即或，
由图象得，要使函数有三个零点，且，
则或或
解得实数的取值范围是
故答案是：或2；.
6． (2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数则函数的最小值为________；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据导数求出函数在每段上的最小值，比较大小即可；求出过点且与相切的直线的斜率，再由数形结合可得出与有4个交点时的斜率取值范围，即可得解.
【详解】令，表示过定点，斜率为的动直线，
当时，当时，；当，，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，
，
在同一坐标系内作出函数图象与直线，如图所示，
关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线有四个不同的交点，
当时，的图象在点处切线斜率为，
该切线过点时，满足，解得，
的图象过点的切线斜，
当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，，
，解得，
的图象过点的切线斜率为2，
由函数图象知，当动直线在直线与所夹不含轴的对顶角区域内转动（不含边界直线）时，函数的图象与直线有四个不同的交点，此时的取值范围是．
故答案为：；
四、填空题
7． (2023·河南·模拟预测（理））已知函数，，若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】将问题转化为在区间上恰有四个不同的实数根，进而设，然后先通过导数的方法探讨函数的图象和性质，再讨论关于t的方程的根的分布，最后求得答案.
【详解】问题即在区间上恰有四个不同的实数根.
设，，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.
当时，；当时，；当时，且.如示意图：

由图可知，当时，函数有2个零点，于是问题关于t的的方程即在上有2个不等实根.
设的两个零点为，易知.
于是，.
故答案为：.
【点睛】本题较难，首先直接处理较为麻烦，因此对原方程进行恒等变形，进而采用“换元法”降低试题的难度.另外，我们经常采用“数形结合法”进行辅助解题，这样更加形象和直观.
题型三：分类与整合思想
一、多选题
1． (2023·重庆南开中学模拟预测）已知函数，其中常数，，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的定义域为
B．当，时，函数有两个极值点
C．不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点
D．若，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】A判断时的定义域情况即可；B利用导数研究的单调性，判断是否有两个变号零点即可；C、D对求导，构造结合二次函数性质讨论和m，应用零点存在性定理判断变号零点的个数，进而判断极值点个数及单调性.
【详解】A：当时定义域为，错误；
B：且定义域为，则，
而在上递减，上递增，且，，
所以在上各有一个变号零点，则有两个极值点，正确；
C：，则，
令，则图象开口向上，对称轴且，
要使有极值点，必有变号零点，则，所以或，
当时，则定义域为，又，
此时则，故在上递增，又，即，无极值点；
此时则，则在递减，递增，
故、各有一个零点，即有两个变号零点；
当时，则定义域为，且，，
则在上递增，又，即，无极值点；
当时，定义域为，，
此时则，故在上递减，递增，
又，，趋向正无穷趋于正无穷，故在、各有一个变号零点，即有两个变号零点；
此时则，则在递增，又，即，无极值点；
综上，不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点，正确；
D：结合C分析：当且时有，则在上恒正，即，此时是增函数；
当且时有，则在，各有一个零点，易得有两个变号零点，此时不单调，
命题的充分性不成立，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：C、D首先对求导，构造，结合二次函数性质讨论参数判断变号零点的个数及单调性.
二、解答题
2． (2023·四川南充·三模（理））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，若，求证：对于任意，函数有唯一零点．
【分析】（1）求导，通过讨论的范围研究导函数的符号变化，进而研究函数的单调区间；
（2）求导，构造函数，再次求导研究.的单调性，再利用放缩法进行转化求证.
(1)解：的定义域为，
且，
当时，，则在单调递减，单调递增；
当时，由得，，
所以在单调递减，单调递增；
当时，
①当时，在单调递减；
②当时，当时，
即时，在单调递减；
当时，
即时，
由得，
所以在、单调递减，
在单调递增；
综上所述：
①当时，在单调递减，
在单调递增；
②当时，在单调递减，在单调递增；
③时，在单调递减；
④当时，在、
单调递减，在单调递增；
(2)解：当时，，
，
令，则．
则在单调递增，单调递减．
所以
所以
在单调递减．
当时，由
得
当时，
由
得
存在唯一，使得函数．
所以对于任意，函数有唯一零点．
3． (2023·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数，，常数a是实数.
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
(2)，都有，求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求出，再求导得到，即可求出切线方程；
（2）令，求导后令，通过得到在单调递增，当时，在单调递增，符合题意，当时，说明，使，不合题意，即可求解.
(1)设，则，
∴，，
∴，
∴曲线在点处的切线方程头，即．
∴曲线在点处的切线方程为．
(2)设,
则．
设，则．
∴函数在单调递增．
当时，．
∴，故在单调递增．
又∵，故对任意都成立．
即当时，，都有,即．
当时，，
，
∴，使．
∵函数在单调递增，
∴，都有．
∴在单调递减．
∴，使，即，使，与，都有矛盾．
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】本题关键点在于构造函数，求导后令，通过得到的单调性，求得的最小值，再讨论当时，得到在单调递增，符合题意，当时，说明，使，不合题意，即可求解.
4． (2023·湖南师大附中二模）已知函数.
(1)若，比较与的大小；
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)当时，有1个零点；当时，有3个零点
【分析】（1）利用导数判断函数在上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；
（2）求出函数的导函数，再利用导数可求得，再分和两种情况讨论，结合零点的存在性定理，从而可得出结论.
(1)解：当时，，
，
当时，，所以在上单调递增，
因为，
所以；
(2)解：，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
①若，即，则，在上递增，
因为，则为的唯一零点；
②若，即，则，
因为，，则在内仅有个零点，记为n，
因为，
设，则当时，，
所以在内单调递增，
从而，即，
所以在内仅有一个零点，记为m，
于是，当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
因为，，则，，
故在内有唯一零点，
因为，
则在内有唯一零点，
因为，
则在内有唯一零点，
所以在内有3个零点.
综上所述，当时，有1个零点；当时，有3个零点.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.
5． (2023·河北唐山·二模）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．
(1)求b的值以及l的方程；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由．
【答案】(1)，的方程：.
(2)在上有1个零点，理由见解析.
【分析】（1）根据曲线和在原点处有相同的切线l，则可知斜率相等，进一步求出b的值以及l的方程；
（2）函数零点即是图象与轴的交点，需要用导数的方法研究函数，其中要进行二次求导，运用零点存在性定理说明函数的零点情况.
(1)依题意得： ，.
，
，的方程：.
(2)当时，，，此时无零点.
当时，
令
则，显然在上单调递增，
又，，所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
时，，单调递增；又，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
又，，所以在上有一个零点.
综上，在上有1个零点.
【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，知识考查较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.
6． (2023·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求出函数导数后对a分类讨论，解不等式得出函数单调区间即可；
（2）由题意转化为对任意恒成立，记，利用导数可得，再利用导数及零点的性质求出即可得解.
(1)
①当时，时，在上单调递增；
当，即时，在上递减；
②当时，令，得或，函数递增；
令，得，函数递减
③当时，恒成立，函数在R上递增
④当时，令，得或，函数递增；
令，
得，函数递减.
(2)不等式在上恒成立，
即对任意的恒成立，
对任意的恒成立
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
在上单调递增，且，
存在，使得，且当时，即，
∴函数在上单调递减；
当时，即，故在上单调递增，
，即，
又，故，即，
令
在上恒成立，
∴函数在上单调递增，且值域为，
.
综上，实数a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：求出函数后，需要再次利用导数及零点存在性定理，确定的单调性及极值是解题的关键，需要较强的运算及思维能力，当得到后，再根据零点的定义及函数单调性求出，属于难题.
7． (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
(2)讨论函数在区间上的零点个数．
【答案】(1)
(2)当或时，在上无零点；
当或时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点．
【分析】（1）求出，分、两种情况讨论的单调性，然后可得答案；
（2）分类讨论在区间上的单调性，每种情况下结合的函数值的符号判断其零点个数.
(1)（1）由已知，可得．
①当时，则当时，，∴在上单调递增，
此时不存在极值点，不符合题意；
②当时，则由得或（舍）．
∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
∴存在唯一极大值点．
∴，解得
(2)（1）当时，在上恒成立，∴在上单调递增．
∵，，
由零点存在性定理知函数在区间上无零点.
（2）当时，，由（1）知在上单调递增，
∵，，
由零点存在性定理知函数在区间上有一个零点.
（3）当时，，知在上单增，在上单减，
①当时，∵，，，
由零点存在性定理知函数在区间上有一个零点.
②当时，∵，，，
由零点存在性定理知函数在区间上有两个零点.
③当时，∵，，，
由零点存在性定理知函数在区间上没有零点.
（4）当时，，由（1）知在上单调递减，
∵，，
由零点存在性定理知函数在区间上没有零点.
综上，当或时，在上无零点；
当或时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨论函数的零点个数.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1． (2023·广西南宁·二模（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【答案】B
【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.
【详解】解：易知等价于．
令，则．
令得．
当时；当时．
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值．
令，则．
当时不符合，舍去，所以．
则，．
当时；当时．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值．
若成立，只需，
即，即．
两边取自然对数可得．
当时等式成立；当时有．
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减．
因为，，，
所以的最大正整数为9．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，同时也考查转化与化归的数学思想，对解题能力有一定的挑战性，是难题.
2． (2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】原不等式等价于，，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式等价于，，
设，，所以，得．
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，且时，，
因此与的图象如下，
当时，显然不满足条件，
当时，只需要满足，即，解得．
故选：D．
3． (2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围.
【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
【点睛】关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围.
二、多选题
4． (2023·广东广州·二模）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m位n进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式子，再进行大小比较即可.
【详解】对于A：即是：，A正确；
对于B：即是：
即是：，B正确；
对于C、D：
，即是：

，即是：
构造函数：，求导得：

，，单调递增；
，，单调递减；
代入得：
即是：，
，D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用，
运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题.
5． (2023·江苏·高三阶段练习）若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（ ）
A．数列为等比数列B．数列单调递增
C．D．数列的前项和为，则.
【答案】AC
【分析】根据定义结合对数的运算性质和错位相减求和，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故A正确；
因为，所以数列不是单调递增数列，故B错误；
因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，
所以，故C正确；
因为，所以
设，则
所以，
所以，从而数列的前项和为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
【答案】3
【分析】根据已知条件进行同构，研究同构函数单调性得到再转化求解即可.
【详解】因为，
所以，
令，则，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以．
故答案为：3
7． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值集合是_________．
【答案】
【分析】通过同构与换元的转化，将原题转化为求恒成立时的取值集合，通过观察可知是函数的极大值点，所以，得到，再验证对恒成立的充分性即可.
【详解】因为对恒成立，
两边同时除以得，即，
所以，令，，
则对恒成立，
令，则，
显然，所以是函数的极大值点，
所以，得，
下面验证对恒成立的充分性，
当时，，，
令，得，此时单调递减，
令，得，此时单调递增，
所以当时，，即是恒成立的充要条件.
所以.
故答案为：
四、解答题
8． (2023·山西晋中·模拟预测（理））已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若为函数的极大值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)当，时，单调递增；当，时，单调递减；
(2).
【分析】（1）首先求其定义域，根据导数与函数的单调性的关系即可求其单调区间；
（2）对函数求导并将其表示成二次函数与另一个函数乘积形式，分段讨论函数的单调性，再根据极大值点求得的取值范围.
(1)函数的定义域为
当时， ，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上所述，
当，时，单调递增；
当，时，单调递减.
(2)

令，
当时，由（1）知，为函数的极大值点，成立；
当时，的图象开口向上，
，方程有两根，设为，且，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
为函数的极大值点，成立；
当或时，的图象开口向下，
对称轴，，，
方程有两正根，设为，且，
当时，在上单调递增；
令，当时，在上单调递减；
为函数的极大值点，成立；
当时，的图象开口向下，，对称轴，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
为函数的极大值点，成立；
当时，在上恒成立，
不是函数的极值点，舍去；
当即时，的图象开口向下，
，方程有两根，设为，且，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
为函数的极小值点，舍去；
综上，实数的取值范围是.
【点睛】本题用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性以及极值问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；
(4)本题研究极值点的关键是将转化成和两个函数；
(5)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
(6)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
9． (2023·江西·临川一中高三期中（文））设m为实数，函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个实数根，证明：.（注：是自然对数的底数）
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)证明见解析
【分析】（1）首先求出定义域，再对函数求导，利用导数与函数的单调性的关系求解即可；
（2）首先把代入化简方程，然后根据方程有两个实数根，得出两根的取值范围，利用换元法得出两根的表达式，接着运用分析法从构造函数的角度，利用函数的单调性，极值和最值情况证明不等式.
(1)，
令解得：；令解得：
函数在上单调递增，在上单调递增.
(2)证明：，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为：，
，不妨设，则 ，故，
令，所以，
要证，只要证：，
只要证：，
令，
设，
在上单调递减，在上单调递增，
∵，
则存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
在上恒成立，
即证得：.
【点睛】本题考查函数零点问题，零点存在性定理，用导数研究双变量问题以及用导数证明不等式成立问题，对分析问题和解决问题的能力有一定的要求，学生应从基础入手，层层深入，各个击破.
10． (2023·广东·高三阶段练习）若，且直线与曲线相切.
(1)求的值；
(2)证明：当，不等式对于恒成立.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）设切点为，则有，解之即可的解；
（2）要证当，不等式对于恒成立，只需证当，不等式对于恒成立，令，只需证明即可，利用导数求出函数的最小值，即可得证.
(1)解：设切点为，，
则，解得：，
；
(2)
证明：要证当，不等式对于恒成立，
只需证当，不等式对于恒成立，
令，
令，
，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
故，
，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
所以函数在上递增，
即函数在上递增，
又，
所以，所以在上递增，
又因为，故恒成立，
即当，不等式对于恒成立.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，还考查了利用导数证明不等式问题，考查了放缩及转换思想，考查了学生的数据分析能力、计算能力及逻辑推理能力，难度很大.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1． (2023·全国·高三专题练习（文））若曲线在处的切线也是的切线，则（ ）
A．-1B．-2
C．2D．
【答案】B
【分析】求出曲线在处的切线，设切线与曲线切于点，根据导数的几何意义求出切点坐标，确定值．
【详解】由得，，又
∴曲线在处的切线方程为
设直线与曲线切于点
由得，
∴，，即
∴，解得
故选：B
【点睛】本题考查导数的几何意义，注意区分函数在某点处的切线与过某点的切线．过某点的切线问题一般设切点坐标为，由导数几何意义求出切线方程（或切线斜率），利用所过点求出切点坐标，得出结论
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论中错误的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】A选项令，进行验证即可；B选项令，通过验证结论成立；C选项当时，举反例时，不满足条件；D选项求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．
【详解】当，则，函数的定义域为，
此时函数的导数，
由得，，
则当时，则，此时函数递增，当时，则，此时函数递减，
故当时，函数取得极小值同时也是最小值，
则对，；故A正确，
当，则，则，
故，，，故B正确．
当时，，满足，但，
故，，不成立，故C错误．
函数的导数．
由，则，即，
即，函数都存在极值点，又，即，成立，故D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，其导函数记为，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．−2
【答案】A
【解析】求函数的导数，并计算和的值.
【详解】因为，所以，所以
，
，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的导数，重点考察计算，化简，变形能力，属于中档题型.
二、填空题
4． (2023·全国·高三专题练习）有如下结论：若无穷等比数列的公比满足，则它的各项和．已知函数?(?)=?2−2?,0⩽?⩽213?(?−22),?>2，则的图象与轴围成的所有图形的面积之和为__．
【答案】4
【解析】由已知可得,函数与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列,代入公式求解即可.
【详解】当时，，与轴围成的封闭图形面积为：；
当时，，故当时，函数图象与轴围成的封闭图形长扩大2倍，高缩小到,故面积为：；
同理，当时，函数图象与轴围成的封闭图形面积为：；
依次类推可得,函数的图象与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列，
根据题中的公式得,函数的图象与轴围成的所有图形的面积之和.
故答案为：4
【点睛】本题考查利用定积分求函数与轴围成的封闭图形的面积和无穷等比数列的求和公式;通过计算,得出函数的图象与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列是求解本题的关键;属于中档题.