2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用） 重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）(原卷版+解析版）

这是一份2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用） 重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）(原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1． (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2． (2023·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习）已知函数,则下列命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．
三、填空题
3． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.
4． (2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是_________
四、解答题
5． (2023·全国·高三专题练习）已知，①
，②
求证：.
6． (2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
（1）若当时，的最大值为，最小值为，求实数a，b的值
（2）若，设函数，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1． (2023·四川绵阳·三模（文））函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．1C．D．
2． (2023·河南·高三阶段练习（文））勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
3． (2023·河北衡水·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，且的面积为，则下列函数值恰好等于的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4． (2023·上海市七宝中学高三期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_______
5． (2023·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是_______米．
四、解答题
6． (2023·山东济宁·二模）如图，在梯形ABCD中，，.
(1)求证：BC=2CD；
(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面积.
题型三：分类与整合思想
一、多选题
1． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．为周期函数B．在上单调递增
C．的值域为D．的图像关于直线对称
2． (2023·江苏省江都中学高三阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在区间单调递减
C．在有4个零点
D．的最小值为
二、双空题
3． (2023·北京·人大附中高三开学考试）已知，能够说明命题“若对任意实数都有成立，则必有，”为假命题的一组A，的值为________，________．
三、填空题
4． (2023·全国·高三专题练习）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是，2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是________．
5． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
四、解答题
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，设函数．
(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1． (2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．－D．
3． (2023·全国·高三专题练习）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，.设点C的坐标为，当最大时，（ ）
A．2abB．abC．D．
4． (2023·浙江·高三专题练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．πD．2π
二、多选题
5． (2023·全国·高三专题练习）以下说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“元周期函数”，非零常数为函数的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（ ）
A．如果“元周期函数”的“元周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
B．函数是“元周期函数”
C．常数函数是“元周期函数”
D．如果函数是“元周期函数”，那么“或”
7． (2023·江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合，若对于任意，存在，使得，则称集合是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8． (2023·全国·高三专题练习）设，，，，若对任意实数都有，定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则满足条件的有序实数组，，，的组数为___________．
9． (2023·全国·高三专题练习）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是________．(填序号)
①是偶函数，且周期是；②在上有4个零点；
③的值域为； ④在上是减函数．
四、解答题
10． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，，，，且为锐角．
(1)求；
(2)求的面积．

重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1． (2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.
【详解】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.
故选：A.
二、多选题
2． (2023·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习）已知函数,则下列命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．
【答案】ACD
【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.
【详解】由，得.
对于A，当时，，
当即时，函数单调递增，
所以函数单调递增区间为，故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度后，得到
所得的图象关于y轴对称，
所以,解得，
当时，m的最小值是，故C正确；
对于D，如图所示，
实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，
则必有，或，此时，另一解为.
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
3． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.
【详解】解：由题可知，不妨设，
对于，对任意实数，，方程有解，
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，所以，
综上得：；
对于，对任意实数，，方程也有解，
当时，方程可化为有解，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.
4． (2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是_________
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．
【详解】由题意知，，
即，
所以的定义域为：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
四、解答题
5． (2023·全国·高三专题练习）已知，①
，②
求证：.
【分析】证法一：将与看作方程的两根，证明此方程的两根之差为零即可；.证法二：将①式看作以3为元的一元二次方程，②式的左端恰为该方程的判别式求解.
【详解】证法一：已知条件可变为，
.
视与为方程的两根，
问题转化为证明此方程的两根之差为零.
由于.
因此，.
证法二：注意到已知条件中的数学关系，则①式就是以3为元的一元二次方程，
而②式的左端恰为该方程的判别式，从而可得.
则①式变为.（*）
当时，由已知条件可得，从而；
当时，由②式知方程（*）有两个相等的实数根，
，即，代入①式得.
6． (2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
（1）若当时，的最大值为，最小值为，求实数a，b的值
（2）若，设函数，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）配方得到，根据，，分，，讨论求解；
（2）方法一：通过参变分离转化为恒成立求解；方法二：由恒成立，令，转化为在上恒成立求解，
【详解】（1），
∵，，
∴当时，，.
解得或（舍去），
∴，.
当时，，.
解得（舍去）.
综上所述，，.
（2）解法一：.
当时，恒成立，
，令，则.
，
由对勾函数的性质得
，
所以.
∴m的取值范围是.
解法二：.
当时，恒成立，
令，则，则在上恒成立，
则，即.
∴m的取值范围是.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1． (2023·四川绵阳·三模（文））函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】由图象可得、求出，五点法求，进而写出解析式，即可求.
【详解】由图知：且，则，可得，
又且，则，，由，可得，
所以，则.
故选：B
2． (2023·河南·高三阶段练习（文））勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】在中利用余弦定理可求出，则可得，再由锐角三角函数的定义可求出，由勾股定理求出，从而可求得答案
【详解】连接，由条件可得，在中，由余弦定理得
，
∴，
∴，，
∴，
所以弦图中小正方形的边长为．
故选：C
二、多选题
3． (2023·河北衡水·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，且的面积为，则下列函数值恰好等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意得到，根据条件可以求出，所以，根据选项求值判断即可.
【详解】根据题意得，，因为，所以，即，所以，又的面积为2，所以，
所以，所以，所以，解得（舍去），.
所以，即.
所以，故A正确；
所以，故B不正确；
所以，故C正确；
所以，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题
4． (2023·上海市七宝中学高三期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_______
【答案】2
【分析】利用函数与方程的关系转化为两个图象交点个数问题即可求解
【详解】
由得,
,
设,则
作出与的图象如图
则,得,
即的最小值是,
故答案为:.
5． (2023·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是_______米．
【答案】35
【分析】设米，则可得，然后在中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出蜚英塔的高度
【详解】设米，因为，，，
所以，
在中，，，则由余弦定理得
,
，解得，
所以蜚英塔的高度是35米，
故答案为：35
四、解答题
6． (2023·山东济宁·二模）如图，在梯形ABCD中，，.
(1)求证：BC=2CD；
(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）在△ACD和△ABC中，分别利用正弦定理可得，，再由，可得∠ACD=∠CAB，所以得，再结合已知条件可得，从而可证得结论，
（2）在△ACD中，由余弦定理可求得，， 在△ABC中，再利用余弦定理可求出，从而可求出梯形的面积
(1)在△ACD中，由正弦定理得，
即，
因为，所以∠ACD=∠CAB，
所以
在△ABC中，由正弦定理得，
即，
所以.
又，
所以，即BC=2CD.
(2)由（1）知.
在△ACD中，由余弦定理得，
解得.
所以.
在△ABC中，，解得或3.
又因为ABCD为梯形，所以.
又梯形ABCD的高为，
所以梯形ABCD的面积为.
题型三：分类与整合思想
一、多选题
1． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．为周期函数B．在上单调递增
C．的值域为D．的图像关于直线对称
【答案】AD
【分析】易求得，即可判断A；由，得，，结合正弦函数的单调性即可判断B；分和两种情况讨论，求出函数的值域，即可判断C；判断是否相等即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以是函数的一个周期，故A正确；
当时，，
此时，则，所以，
当时，，
此时，则，所以，
所以函数的值域为，故C错误；
对于B，当时，，
则，所以函数在上单调递减，故B错误.
对于D，因为，
，
所以，
所以的图像关于直线对称，故D正确.
故选：AD.
2． (2023·江苏省江都中学高三阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在区间单调递减
C．在有4个零点
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；
当，时，，由复合函数单调性可知，即可判断B；
当时，，令，即可判断C；
分三种情况，当，时，当，时，当，时，确定最小值，即可判断D．
【详解】解：对于A，，是偶函数，故A正确；
对于B，当，时，，
则，当，，
所以函数在，上不具有单调性，故B错误；
对于C，当时，，令，可得，，又是偶函数，
所以在区间，上有4个零点，故C正确；
对于D，，
所以是函数的一个周期，
当，时，，
此时最小值为1，
当，时，，
此时最小值为-1，
当，时，，
此时最小值为，
所以最小值为-1，故D错误.
故选：AC.
二、双空题
3． (2023·北京·人大附中高三开学考试）已知，能够说明命题“若对任意实数都有成立，则必有，”为假命题的一组A，的值为________，________．
【答案】
【分析】要使对任意实数都有成立，则，再分和两种情况讨论，结合诱导公式求出的值，即可得出答案.
【详解】解：若对任意实数都有成立，
则，
当时，则，所以，
又，所以，
当时，则，所以，
又，所以，
综上所述，对任意实数都有成立，则，或，，
所以能够说明命题为假命题的一组A，的值为，.
故答案为：；.
三、填空题
4． (2023·全国·高三专题练习）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是，2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据等差中项和等比中项的性质求出，再根据三角形三边的关系及余弦定理，分a为最大边和c为最大边两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：因为b是，2的等比中项，
所以，所以，
又因c是1，5的等差中项，
所以，所以，
因为△ABC为锐角三角形，
①当a为最大边时，有，
解得；
②当c为最大边时，有，
解得，
综上所述，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
5． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，则
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直线是图象的对称轴；
④直线与的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
【答案】①③④
【分析】结合三角函数的图像和性质，数形结合思想求解，求出即可判断②，分k为奇数，k为偶数，讨论即可判断③.
【详解】解：对于①，当时，
且，则当时，函数取最小值，即，故①正确；
对于②，∵，，，则：
故函数的最小正周期不是，②错误；
对于③，若k为奇数，则；
若k为偶数，则.
由上可知，当吋，，
所以，直线是图象的对称轴，③正确；
対于④，因为∵，
所以为函数的周期.
当时，；
当时，.
综上可知，.
当时，，，即函数与在上的图象无交点：
当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.作出函数与函数在上的图象如下图所示：
由图像可知，直线与的图象恰有2个公共点，故④正确.
故答案为：①③④.
四、解答题
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，设函数．
(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
【分析】（1）由题设写出的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.
（2）由题设可得且，由正弦函数的性质，讨论端点的位置并求出对应的值域范围.
(1)由题设，，
所以，根据余弦函数的性质：
当时，在上递增；
当时，在上递增；
(2)由题设，，则，又，即，
所以，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
7． (2023·山西朔州·高三期中（文））在中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，时.
(1)若，求c；
(2)记，是直角三角形，求k的值.
【答案】(1)8(2)或
【分析】（1）利用余弦定理即得；
（2）分和讨论，结合条件即得.
(1)在中，由余弦定理得，
∴
即，，
所以.
(2)是直角三角形，
若，则，，
若，则，.
故或.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1． (2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．－D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
，
故选：B
3． (2023·全国·高三专题练习）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，.设点C的坐标为，当最大时，（ ）
A．2abB．abC．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，分别表示出，然后利用两角差的正切公式表示出，再结合基本不等式，即可求得结果.
【详解】由题意可知时锐角，且,
而，
所以，
而 ，当且仅当 ，即时取等号，
所以当时，，此时最大，
故选：D.
4． (2023·浙江·高三专题练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．πD．2π
【答案】C
【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.
【详解】因为
所以最小正周期.
故选：C
二、多选题
5． (2023·全国·高三专题练习）以下说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
6． (2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“元周期函数”，非零常数为函数的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（ ）
A．如果“元周期函数”的“元周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
B．函数是“元周期函数”
C．常数函数是“元周期函数”
D．如果函数是“元周期函数”，那么“或”
【答案】ACD
【分析】根据题意，首先理解“元周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.
【详解】A选项：∵“元周期函数”的“元周期”为，
，，
故它是周期为2的周期函数，故A正确；
B选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，
即恒成立，故成立，但无解，故B错误；
C选项：常数函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，即恒成立，时恒成立，故C正确；
D选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，则，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，
故，可得或，
故或，故D正确.
故选：ACD
7． (2023·江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合，若对于任意，存在，使得，则称集合是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.
【详解】对于A，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图所示，当点运动时，直线与曲线均有交点，故A正确；
对于B,若满足，则，在实数范围内无解，故B不正确；
对于C，，画出的图象，如图所示，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故C正确；
对于D，，取点，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
三、填空题
8． (2023·全国·高三专题练习）设，，，，若对任意实数都有，定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则满足条件的有序实数组，，，的组数为___________．
【答案】28
【分析】根据结合、，可得出、、的取值组合，求得方程在区间的解，可得出的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组的组数.
【详解】解：对任意实数都有，，
若，则方程等价于，则函数的周期相同，
若，此时；若，此时；
若，则方程等价于，
若，此时；若，此时．
综上，满足条件的数组，，为，3，，，，，
，，，，3，共4组．
而当时，，得或，
或，
又，，．
满足条件的有序数组，，，共有．
故答案为：28．
9． (2023·全国·高三专题练习）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是________．(填序号)
①是偶函数，且周期是；
②在上有4个零点；
③的值域为；
④在上是减函数．
【答案】①③
【分析】利用奇偶性、周期性的定义判定①正确；利用二倍角公式得到，再通过解方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.
【详解】对于①：因为
，即是偶函数，
又对于，
，
且
即的周期是，
即①正确；
对于②：因为
，
令，即，
解得或（舍），
则在上有2个零点，
即②错误；
对于③：因为，
所以当时，；
当时，；
即的值域为，
即③正确；
对于④：令，则，
且在单调递减，且，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上不是单调递减，即④错误.
故答案为：①③.
四、解答题
10． (2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，，，，且为锐角．
(1)求；
(2)求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；
（2）由面积公式即可得解.
(1)由已知，
∵是锐角，∴．
由余弦定理可得，则．
∵，∴BD是四边形外接圆的直径，
∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知
(2)由，，，，
则,,
又，则，
因此，
故的面积为．