2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型24 勾股定理——风吹树折模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型24 勾股定理——风吹树折模型-原卷版+解析，共12页。


“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”（1丈=10尺）

【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.
【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.
【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.
由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55.
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺
方法技巧：
此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案.
1． (2023·福建·平潭第一中学八年级期末）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
2． (2023·广西柳州·八年级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝4m，则树高为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·河南信阳·八年级阶段练习）如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对
4． (2023·湖北恩施·八年级期末）如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（ ）
A．B．C．D．
1． (2023·新疆·乌鲁木齐市第十三中学八年级期中）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前的长度是__________________
2． (2023·湖南·双牌县第一中学八年级期中）如图，一棵大树在离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米，这棵大树原来的高度为__________米．
3． (2023·安徽合肥·八年级期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB．
1． (2023·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
2． (2023·四川成都·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量，折断部分AB与地面的夹角∠BAC＝30°，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD＝6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米．求大树未折断前的高度．
勾股定理
模型（二十四）——风吹树折模型

“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”（1丈=10尺）

【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.
【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.
【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.
由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55.
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺
方法技巧：
此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案.
1． (2023·福建·平潭第一中学八年级期末）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】由题意得：
则（m）
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理求解直角三角形的边长，熟练掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
2． (2023·广西柳州·八年级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝4m，则树高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【详解】据题意，AC=2m,∠CAB=90°，AB＝4m，
由勾股定理得
∴AC+BC=.
即树高为
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
3． (2023·河南信阳·八年级阶段练习）如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】直接将房子看作一个点，利用勾股定理分析得出答案．
【详解】解：如图，
,
由勾股定理知：（米）．
由于8＜9，
所以，大树倒下时不能砸到张大爷的房子．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
4． (2023·湖北恩施·八年级期末）如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：，
解得x=．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
1． (2023·新疆·乌鲁木齐市第十三中学八年级期中）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前的长度是__________________
【答案】16m##16米
【分析】利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，在Rt△ABC中，AC=6m，AB=8m，∠A=90°，且CD=BC，
∴由勾股定理得，
∴CD=BC=10m，
∴AD=AC+CD=16m，
∴大树在折断前的长度是16m，
故答案为：16m．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形利用勾股定理求解是解题的关键．
2． (2023·湖南·双牌县第一中学八年级期中）如图，一棵大树在离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米，这棵大树原来的高度为__________米．
【答案】8
【分析】运用勾股定理即可求解．
【详解】如图，根据题意有：AB=4，AC=3，∠A=90°，
则在Rt△ABC中，有，
则树的高度为：AC+BC=3+5=8（米），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将题意抽象概括为用勾股定理解Rt△ABC是解答本题的关键．
3． (2023·安徽合肥·八年级期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB．
【答案】风筝距离地面的高度AB为12米
【分析】设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【详解】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，
在Rt△ABC中，，
即，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
1． (2023·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
【答案】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
2． (2023·四川成都·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量，折断部分AB与地面的夹角∠BAC＝30°，树干BC在某一时刻阳光下的影长CD＝6米，而在同时刻身高1.5米的人的影子长为2米．求大树未折断前的高度．
【答案】13.5米
【分析】用比例式求得AB的长度，然后在中求出BC的长，两者相加即可求出未折断前大树的高度．
【详解】解：依题意得,
则BC＝4.5（米）．
在Rt△ACB中，AB＝2BC＝9（米）
所以 4.5+9＝13.5（米）
答：大树未折断前的高度约为13.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确构造直角三角形．