2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型26 勾股定理——378和578模型-原卷版+解析

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当两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 时，我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形.

◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，
①这两个三角形的面积6、10.
②3、8与5、8夹角都是60
【证明】

①过A作AE⊥BC于E,
∵△ABC为等边三角形，
可求出AE的长为，
∴△ABD的面积为BD AE ＝6，△ACD的面积为10。
②有上面△ABC是等边三角形可知，∠B＝∠C＝60°，
∴3、8与5、8夹角都是60
1． (2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
2． (2023·江苏·八年级专题练习）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90°B．150°C．135°D．120°
1． (2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
2． (2023·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．56C．48D．112
1． (2023·全国·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．
勾股定理
模型（二十六）——378和578模型

当两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 时，我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形.

◎结论：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，
①这两个三角形的面积6、10.
②3、8与5、8夹角都是60
【证明】

①过A作AE⊥BC于E,
∵△ABC为等边三角形，
可求出AE的长为，
∴△ABD的面积为BD AE ＝6，△ACD的面积为10。
②有上面△ABC是等边三角形可知，∠B＝∠C＝60°，
∴3、8与5、8夹角都是60
1． (2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC−CD＝5−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，
即：72−（5−x）2＝82−x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°−30°＝60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
2． (2023·江苏·八年级专题练习）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90°B．150°C．135°D．120°
【答案】D
【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．
【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图
设BD=x，则CD=8-x
在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：
则得方程：
解得：
即
∵，AD⊥BC
∴∠BAD=30゜
∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜
∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜
∵BC>AC>AB
∴∠BAC>∠ABD>∠C
故最大角与最小角的和为120゜
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件．
1． (2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 交BC延长线于点D，
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，
可设CD=x，则BC=3+x，
在 中，
，
在中，
，
∴，
解得： ，
∴BC=3+x=4，
∴在中， ，
∴ ，
∴ ．
故选 C．
【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．
2． (2023·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．56C．48D．112
【答案】A
【分析】如图，过作于，设，则，根据中，利用勾股定理建立方程，求得，继而用勾股定理求得，从而求得面积．
【详解】如图，过作于，设，则，
在中
解得
故选A
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
1． (2023·全国·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．
【答案】
【分析】先过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面积求出IE即可．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8−x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2−AD2＝BC2−CD2，
∴32−x2＝72−（8−x）2，
解得：x＝，
∴AD＝，
∴BD＝
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵S△ABC＝AC•BD＝ (AC＋BC＋AB)•IE，
∴，
∴IE＝，
∴△ABC的内切圆I的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法，过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD是本题的关键．