2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型35 圆——圆幂定理模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型35 圆——圆幂定理模型-原卷版+解析，共15页。试卷主要包含了圆周角定理；2等内容，欢迎下载使用。

知识点一：相交弦定理
◎结论1：如图 ，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则
①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.
①【证明】 如上右图
∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB
∴△APC∽△DPB
∴＝
即AP·BP＝CP·DP
② OP与⊙O交于M.N两点，r为⊙O 的半径，
AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r²－OP²
知识点二：切割线定理
◎结论2：如图 ，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2
【证明】①
连接AB,AC,连接AO并延长交⊙O于D，连接DB.
∵PA为⊙O的切线
∴∠DAP＝90°
即∠1＋∠2＝90°
∵AD是⊙O的直径
∴∠ABD＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
∵∠3＝∠4
∴∠1＝∠4
∴△PAB∽△PCA
∴＝
即PA²＝PB.PC

② PA²＝PB·PC
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO²－r²

知识点三：割线定理
◎结论3：如图 ，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则
①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2


【证明】 ∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA
∴△PBC∽△PDA
∴＝
∴PA·PB＝PC·PD
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO²－r²
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等
1． (2023·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．
2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=，且BD=7，则DE=_______
3．（2018·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1) 求证：AHAB=AC2；
(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；
(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).
1． (2023·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度 ．
1．（2017·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是( )
A．B．C．D．
2． (2023·四川·恩阳二中一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm和5cm两段，则这条弦的长为_____．
圆
模型（三十五）——圆幂定理模型
知识点一：相交弦定理
◎结论1：如图 ，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则
①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.
①【证明】 如上右图
∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB
∴△APC∽△DPB
∴＝
即AP·BP＝CP·DP
② OP与⊙O交于M.N两点，r为⊙O 的半径，
AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r²－OP²
知识点二：切割线定理
◎结论2：如图 ，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2
【证明】①
连接AB,AC,连接AO并延长交⊙O于D，连接DB.
∵PA为⊙O的切线
∴∠DAP＝90°
即∠1＋∠2＝90°
∵AD是⊙O的直径
∴∠ABD＝90°
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
∵∠3＝∠4
∴∠1＝∠4
∴△PAB∽△PCA
∴＝
即PA²＝PB.PC

② PA²＝PB·PC
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO²－r²

知识点三：割线定理
◎结论3：如图 ，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则
①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2


【证明】 ∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA
∴△PBC∽△PDA
∴＝
∴PA·PB＝PC·PD
＝PM·PN
＝（PO－r）（PO＋r）
＝PO²－r²
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等
1． (2023·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____．
【答案】1cm
【分析】首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距．
【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，
∵分直径成1cm和5cm两部分，
∴AB＝6cm，
∴OA＝AB＝3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝1（cm）．
故答案为：1cm．
【点睛】此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=，且BD=7，则DE=_______
【答案】3．
【详解】试题分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=7-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．
试题解析：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴；
设BE=x，则DE=7-x，EC=x，AE=（7-x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=x，则BC=x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=-x，BC=x；
由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，
即：92=（-x）2+（x）2，
整理，得x2-14x+31=0，
解得：x1=7+3（不合题意舍去），x2=7-3
则DE=7-x=3．
考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质．
3．（2018·四川资阳·九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1) 求证：AHAB=AC2；
(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；
(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立.
【分析】（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；
（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；
（3）由（1）（2）的结论可知，AP•AQ=AC2成立．
【详解】(1) 连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC .
∴， 即AHAB=AC2 .
(2) 连结FB，易证△AHE∽△AFB，
∴ AEAF=AHAB，
∴ AEAF=AC2 .
(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)
(3) 结论APAQ=AC2成立 .
【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．
1． (2023·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度 ．
【答案】（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6．
【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；
（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA，由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；
（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，设DH=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△OEA中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长．
【详解】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，
∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；
当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度，过O点作ON⊥AM，垂足为N，作OG⊥AB，垂足为G，则四边形AGON为矩形，
∴AN=OG，
∵OG⊥AB，AB=8，
∴AG=4，
∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3，
∴AN=3，
∵ON⊥AM，
∴AM=6，
即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．
（2）证明：如图，连接AD，
∵AC=12， DH=7， CH=9，
∴CD=CH+DH=16
∴ ，
∴
∵∠C=∠C，
∴△ACH∽△DCA，
∴∠AHC=∠CAD
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AH⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”．
（3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH，
设DH=x，
∵，AB=CD，
则CH=5x，CD=AB=6x，
∴FD=AE=3x，
∴OE=FH=3x-x=2x，
∵半径为，
在Rt△OEA中，由勾股定理得，，
∴，
解得，x=1，
∴CD=6×1=6
【点睛】本题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识，准确做出辅助线是解答此题的关键．
1．（2017·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，弦，相交于点，，，则的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故选B．
考点：圆周角定理．
2． (2023·四川·恩阳二中一模）圆内一条弦与直径相交成30°的角，且分直径1cm和5cm两段，则这条弦的长为_____．
【答案】4
【分析】根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，构成直角三角形，然后利用30°的角所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理计算，求出弦长．
【详解】解：如图，
AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD相交于E，∠DEB＝30°，AE＝1cm，EB＝5cm，
过O作OH⊥CD于H，则CH＝HD，
在Rt△OEH中，OE＝OA﹣AE＝﹣1＝2，
∵∠DEB＝30°，
∴OH＝1，
在Rt△ODH中，OD＝OB＝3，
∴HD2＝OD2﹣OH2＝9﹣1＝8，
∴HD＝2．
CD＝2HD＝4．
故答案是：4cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，然后过圆心作弦的垂线，由30°的角所对的直角边是斜边的一半，得到弦心距的长，再用勾股定理可以求出弦长．