2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型41 相似形——射影定理模型-原卷版+解析

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DC²＝DA·DB
AC²＝AD·AB
BC²＝BD·BA
AC·BC＝AB·CD
◎结论：如图，∠ACB＝90º，CD⊥AB，则：


多个垂直先导角，相等互余少不了
∠1＝∠2，∠3＝∠4
△ACD∽△CBD∽△ABC
以△ACD∽△CBD为例
＝, DC²＝DA·DB
记：DC用了两次，D能写出两条共线线段
同理：AC²＝AD·AB
BC²＝BD·BA
等面积：AC·BC＝AB·CD

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
公共边2＝共线边乘积
1． (2023·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（ ）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个B．2个C．3个D．0个

1． (2023·全国·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．
2． (2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．
(1)请证明“射影定理”中的结论③．
(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．
①求证：．
②若，求的长．
1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明．
2．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
相似形
模型（四十一）——射影定理模型
DC²＝DA·DB
AC²＝AD·AB
BC²＝BD·BA
AC·BC＝AB·CD
◎结论：如图，∠ACB＝90º，CD⊥AB，则：


多个垂直先导角，相等互余少不了
∠1＝∠2，∠3＝∠4
△ACD∽△CBD∽△ABC
以△ACD∽△CBD为例
＝, DC²＝DA·DB
记：DC用了两次，D能写出两条共线线段
同理：AC²＝AD·AB
BC²＝BD·BA
等面积：AC·BC＝AB·CD

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
公共边2＝共线边乘积

1． (2023·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（ ）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】A
【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴，
∵，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S△ACB=AC•BC=AB•CD，
∴BC•AC=AB•CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD=2或-10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD=，故③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
1． (2023·全国·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．
【答案】
【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴,
∵
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．
2． (2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．
(1)请证明“射影定理”中的结论③．
(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．
①求证：．
②若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②．
【分析】（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；
（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；
②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．
（1）
证明：
（2）
①四边形ABCD是正方形
②在中，
在，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由AA证明，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；
（2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，再运用SAS证明△BOF∽△BED即可．
【详解】证明：（1）如图1，
（2）如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，即，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED．
【点睛】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可；
（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论；
②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立．
试题解析：
解：（1）∵CD⊥AB，
而平行光线垂直AB，
∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD；
（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BD•AB；
②同理可得：△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD•BD．
点睛：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结合图形得出相似三角形是解决（2）的关键．