
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2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型02 几何图形初步——双角平分线-原卷版+解析
展开◎【结论1】如图,已知OP为∠AOB内一条射线,OM平分∠BOP,ON平分∠AOP,则∠MON= ∠AOB
【证明】∵OM平分∠BOP,ON 平分∠AOP,
∴∠POM= ∠BOP,∠PON= ∠AOP,
∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP
=(∠BOP+ ∠AOP)=∠AOB
【奇思妙想消消消:等号左边∠POM,∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP,∠AOP消掉共同字母P,得∠AOB】
◎【结论2】如图,已知OP为∠AOB外一条射线,OM平分∠BOP,ON平分∠AOP,则∠MON=∠AOB
【证明】∵OM 平分∠BOP,ON平分∠AOP,
∴∠POM= ∠BOP,∠PON= ∠AOP,
∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP
=(∠BOP-∠AOP)=∠AOB
【奇思妙想消消消:等号左边∠POM,∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP,∠AOP消掉共同字母P,得∠AOB】
1. (2023·全国·七年级专题练习)如图,OB平分∠AOD,OC平分∠BOD,∠AOC=45°,则∠BOC=( )
A.5°B.10°C.15°D.20°
2. (2023·全国·七年级课时练习)如图,∠AOB=120°,OC是∠AOB内部任意一条射线,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,下列叙述正确的是( )
A.∠DOE的度数不能确定B.∠AOD=∠EOC
C.∠AOD+∠BOE=60°D.∠BOE=2∠COD
1. (2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习)如图,已知OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠AOD=30°,则∠AOB的度数为_______.
2. (2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中)如图,平分,OE平分,则的度数为_______.
3. (2023·重庆彭水·七年级期末)如图,已知,,OB平分,OD平分,则的度数为( )
A.B.C.D.
4. (2023·全国·七年级课时练习)把一副三角尺按如图所示拼在一起,如图,其中B,C,D三点在同一条直线上,∠ACB=45°,∠DCE=60°.
(1)若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE,如图1,则∠MCN的度数为___________;
(2)若CM平分∠BCE,CN平分∠DCA,如图2,则∠MCN的度数为___________.
1. (2023·山西·一模)已知中,射线在内部,是的平分线,是的平分线.
(1)若如图1,求的度数;
(2)若在(1)的基础上增加了,如图2,求的度数;
(3)若射线在的外部,如图3(与在直线的同侧),求的度数.
2. (2023·四川南充·一模)已知是内部任意的一条射线,,分别是、的平分线.
(1)若,,求的度数;
(2)若,求的度数.
3. (2023·浙江杭州·模拟预测)如图所示,点,,在同一条直线上,,,是的平分线.
(1)求的度数;
(2)是的平分线吗?为什么?
(3)请直接写出图中所有与互余的角.
几何图形初步
模型(二)——双角平分线
◎【结论1】如图,已知OP为∠AOB内一条射线,OM平分∠BOP,ON平分∠AOP,则∠MON= ∠AOB
【证明】∵OM平分∠BOP,ON 平分∠AOP,
∴∠POM= ∠BOP,∠PON= ∠AOP,
∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP
=(∠BOP+ ∠AOP)=∠AOB
【奇思妙想消消消:等号左边∠POM,∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP,∠AOP消掉共同字母P,得∠AOB】
◎【结论2】如图,已知OP为∠AOB外一条射线,OM平分∠BOP,ON平分∠AOP,则∠MON=∠AOB
【证明】∵OM 平分∠BOP,ON平分∠AOP,
∴∠POM= ∠BOP,∠PON= ∠AOP,
∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP
=(∠BOP-∠AOP)=∠AOB
【奇思妙想消消消:等号左边∠POM,∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP,∠AOP消掉共同字母P,得∠AOB】
【典例】
1. (2023·全国·七年级专题练习)如图,OB平分∠AOD,OC平分∠BOD,∠AOC=45°,则∠BOC=( )
A.5°B.10°C.15°D.20°
【答案】C
【分析】利用角平分线得到∠AOB=∠BOD=2∠BOC,利用角的和差求得∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC,即可求出∠BOC.
【详解】解:∵OC平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠BOC,
∵OB平分∠AOD,
∴∠AOB=∠BOD=2∠BOC,
∵∠AOC=45°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC=45°,
∴∠BOC=∠AOC=15°,
故选:C.
【点睛】此题是角平分线的定义,解本题的关键是找到角与角之间的关系,也可以方程的思想解决本题.
2. (2023·全国·七年级课时练习)如图,∠AOB=120°,OC是∠AOB内部任意一条射线,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,下列叙述正确的是( )
A.∠DOE的度数不能确定B.∠AOD=∠EOC
C.∠AOD+∠BOE=60°D.∠BOE=2∠COD
【答案】C
【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°,结合选项得出正确结论.
【详解】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,
∴∠AOD=∠COD,∠EOC=∠BOE.
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°,
∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°.
故选C.
【点睛】本题考查了角的平分线的性质,理解角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键.
1. (2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习)如图,已知OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠AOD=30°,则∠AOB的度数为_______.
【答案】120°
【分析】根据角平分线的定义求出∠AOC,同理可得∠AOB.
【详解】解:∵OD平分∠AOC,∠AOD=30°,
∴∠AOC=2∠AOD=60°,
∵OC平分∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOC=120°,
故答案为:120°.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义,正确把握定义是解题关键.
2. (2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中)如图,平分,OE平分,则的度数为_______.
【答案】30°##30度
【分析】根据角平分线的定义可知:,可求得,由此即可求得.
【详解】解:∵,平分,
∴,
∴,
∵OE平分,
∴,
故答案为:30°.
【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义,利用定义进行求角度是解题的关键.
3. (2023·重庆彭水·七年级期末)如图,已知,,OB平分,OD平分,则的度数为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据,OB平分,可知,根据,OD平分,可知,由此可以求出.
【详解】解:∵,OB平分,
∴;
∵,OD平分,
∴,
∴.
故选:C.
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义,解决本题的关键在于掌握角平分线的定义.
4. (2023·全国·七年级课时练习)把一副三角尺按如图所示拼在一起,如图,其中B,C,D三点在同一条直线上,∠ACB=45°,∠DCE=60°.
(1)若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE,如图1,则∠MCN的度数为___________;
(2)若CM平分∠BCE,CN平分∠DCA,如图2,则∠MCN的度数为___________.
【答案】 52.5°
【分析】(1)利用角平分线的定义求出∠ACM 、∠ECN,可得结论;
(2)利用角平分线的定义求出∠BCM 、∠CAN,可得结论.
【详解】(1)CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE ,∠ACB=45°,∠DCE=60°
∴,
∴.
(2),
∴,
CM平分∠BCE
∴
∴
同理则
∴.
【点睛】本题考查三角形内角和定理,角平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
1. (2023·山西·一模)已知中,射线在内部,是的平分线,是的平分线.
(1)若如图1,求的度数;
(2)若在(1)的基础上增加了,如图2,求的度数;
(3)若射线在的外部,如图3(与在直线的同侧),求的度数.
【答案】(1)45°;(2);(3)
【分析】(1)根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解;
(2)根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解;
(3)根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解.
【详解】(1)是的平分线,是的平分线,
∴,
;
(2)同(1)得,;
(3)是的平分线,是的平分线,
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,熟练掌握角平分线的角度计算方法是解决本题的关键.
2. (2023·四川南充·一模)已知是内部任意的一条射线,,分别是、的平分线.
(1)若,,求的度数;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)50°;(2) .
【分析】(1)根据角平分线的性质可得和的度数,然后可求出的度数;
(1)根据,结合角平分线的性质可得的度数.
【详解】解:(1)∵、分别是、的平分线
∴,
∵,
∴
∴
(2)∵、分别是、的平分线
∴、
.
【点睛】本题考查了角平分线的性质和等量代换,熟练掌握并准确计算是解题的关键.
3. (2023·浙江杭州·模拟预测)如图所示,点,,在同一条直线上,,,是的平分线.
(1)求的度数;
(2)是的平分线吗?为什么?
(3)请直接写出图中所有与互余的角.
【答案】(1)40°;(2)是的平分线,理由见解析;(3)图中与互余的角有,.
【分析】(1)根据是的平分线得,再利用即可解题,(2)求出的度数,证明即可解题,(3)根据同角的余角相等即可解题.
【详解】(1)因为,是的平分线
所以
因为
所以
(2)是的平分线,理由如下:
由(1)可知:,且
所以
所以,即是的平分线
(3)图中与互余的角有,,
理由:∵∠DOE=90°,
∴+=90°,
∵是的平分线,
∴=,
∴图中与互余的角有,.
2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型34 旋转——费马点模型-原卷版+解析: 这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型34 旋转——费马点模型-原卷版+解析,共26页。
2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型33 旋转——奔驰模型-原卷版+解析: 这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型33 旋转——奔驰模型-原卷版+解析,共20页。
2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型27 勾股定理——蚂蚁爬行模型-原卷版+解析: 这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型27 勾股定理——蚂蚁爬行模型-原卷版+解析,共15页。