2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型03 相交线与平行线——猪蹄模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型03 相交线与平行线——猪蹄模型-原卷版+解析，共16页。


◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C

【证明】过点 O作OE//AB，如图.

∵AB∥CD,∴OE∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B＋∠C.
◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.

【证明】过点 O作OE∥AB，如图，则 ∠B=∠1,
∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，∴∠C=∠2，∴OE∥DC，
又OE∥AB，∴AB∥CD.
1． (2023·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期中）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
2． (2023·江苏·苏州工业园区景城学校七年级阶段练习）如图，ABDE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（ ）
A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小
3． (2023·山东济宁·七年级期中）如图，，，则与满足（ ）
A．B．C．D．
1． (2023·河南新乡·七年级期中）如图，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，则∠AED的度数为( )
A．70°B．80°C．90°D．100°
2． (2023·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝25°，则∠1的度数为___．
3． (2023·四川·泸州市梓橦路学校七年级期中）如图，直线，，＝，＝，则的度数为 ________．
1．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
2．如图：
(1)如图1，，，，直接写出的度数．
(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
相交线与平行线
模型（三）——猪蹄模型
◎结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C

【证明】过点 O作OE//AB，如图.

∵AB∥CD,∴OE∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B＋∠C.
◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.

【证明】过点 O作OE∥AB，如图，则 ∠B=∠1,
∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，∴∠C=∠2，∴OE∥DC，
又OE∥AB，∴AB∥CD.
1． (2023·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期中）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，
∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，
即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵ABCD，∴∠A＝∠1，
即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
2． (2023·江苏·苏州工业园区景城学校七年级阶段练习）如图，ABDE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（ ）
A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小
【答案】C
【分析】过C点作CFAB，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过C点作CFAB，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠α=∠BCF，∠β+∠DCF=180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠α+180°-∠β=90°，
∴∠β=90°+∠α，
∴β随α增大而增大，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3． (2023·山东济宁·七年级期中）如图，，，则与满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点C作CFAB，由，则，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：过点C作CFAB，如图，
∵CFAB，
∴∠BCF=∠α，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠FCD=180°-∠β，
∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠α+180°-∠β，
∵
∴∠α+180°-∠β=96°，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
1． (2023·河南新乡·七年级期中）如图，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，则∠AED的度数为( )
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】过点E作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可推导，再根据∠B+∠C=180°，借助平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可判断，故有，可知，然后由计算∠AED的度数即可．
【详解】解：如下图，过点E作，
则，
∵∠B+∠C=180°，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
2． (2023·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝25°，则∠1的度数为___．
【答案】65°
【分析】过直角顶点作直尺长边的平行线，根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到∠1的度数，本题得以解决．
【详解】解：过直角顶点作直尺长边的平行线，如右图所示，
则∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠2=25°，
∴∠3=25°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=65°，
∴∠1=65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
3． (2023·四川·泸州市梓橦路学校七年级期中）如图，直线，，＝，＝，则的度数为 ________．
【答案】117°##117度
【分析】过C作，过B作，利用平行线的性质和判定即可得出结论．
【详解】解：过C作，过B作，
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能综合运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
1．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①；证明见详解；②；证明见详解
【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．
（1）
解：如图4所示：过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：①如图5过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
②如图6过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
2．如图：
(1)如图1，，，，直接写出的度数．
(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；
（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．
（1）
解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）
解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．