2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型04 相交线与平行线——铅笔头模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型04 相交线与平行线——铅笔头模型-原卷版+解析，共18页。


◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°

【证明】如图，过点 O作 OE//AB.

∵AB∥CD, OE//AB//CD.
∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,
∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.
◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.

【证明】如图，过点 O作EF//AB，
则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠BOC+∠C=360°,
∴∠C+∠2=180°,∴EF∥CD，又∵EF//AB，∴AB//CD.
“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）
拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n
1． (2023·全国·七年级）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．140°
2． (2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
1． (2023·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2． (2023·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
3． (2023·全国·七年级）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___．
4． (2023·江苏盐城·七年级期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．
1． (2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
2．如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
相交线与平行线
模型（四）——铅笔头模型
◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°

【证明】如图，过点 O作 OE//AB.

∵AB∥CD, OE//AB//CD.
∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,
∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.
◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.

【证明】如图，过点 O作EF//AB，
则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠BOC+∠C=360°,
∴∠C+∠2=180°,∴EF∥CD，又∵EF//AB，∴AB//CD.
“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）
拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n
1． (2023·全国·七年级）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．80°B．120°
C．100°D．140°
【答案】C
【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C．
【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示，
∵MN//AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵，
∴
∵MN//AB，AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．
2． (2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
3． (2023·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．
【详解】解：
过点A作AB∥l1，
∵l1∥l2，
∴AB∥l1∥l2，
∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，
∵∠1=105,∠2=140 ，
∴∠4=75,∠5=40，
∵∠4+∠5+∠3=180，
∴∠3=65.
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
1． (2023·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
2． (2023·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
【答案】540
【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，
∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．
3． (2023·全国·七年级）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___．
【答案】150°##150度
【分析】延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数．
【详解】解：延长AB交l2于E，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=30°，
∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
4． (2023·江苏盐城·七年级期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．
【答案】
【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．
【详解】解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
1． (2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
（1）
解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；
（2）
解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）
解：
如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
2．如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．