2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型05 相交线与平行线——锯齿模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型05 相交线与平行线——锯齿模型-原卷版+解析，共12页。


◎结论 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E
朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB.
∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF.
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,
∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，
∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证.
锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
1． (2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°
3． (2023·全国·七年级专题练习）如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
1． (2023·全国·九年级专题练习）如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ）
A．30°B．150°C．120°D．100°
2． (2023·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
3． (2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
1． (2023·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（ ）
A．100°B．120°C．75°D．150°
2． (2023·江苏盐城·一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45°
相交线与平行线
模型（五）——锯齿模型
◎结论 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E
朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

【证明】如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB.
∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF.
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,
∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，
∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证.
锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
1． (2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
2． (2023·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
【答案】C
【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
3． (2023·全国·七年级专题练习）如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
1． (2023·全国·九年级专题练习）如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ）
A．30°B．150°C．120°D．100°
【答案】D
【详解】过C作CQ∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，
∴∠ECQ=110°−30°=80°，
∴∠E=180°−80°=100°，
故选D.
2． (2023·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
3． (2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
1． (2023·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（ ）
A．100°B．120°C．75°D．150°
【答案】C
【分析】过点C作CM//l1，则l1//l2//CM，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CM∥l1，
∵l1//l2，
∴l1//l2//CM，
∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同位角相等是解题的关键．
2． (2023·江苏盐城·一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45°
【答案】C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度数．
【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，
∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，
∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，
46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，
∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．
∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．