专题一　培优点3　同构函数问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题一　培优点3　同构函数问题--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，考点一，考点二，双变量同构问题，指对同构问题，专题强化练，规律方法，e＋∞等内容，欢迎下载使用。
同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大.
　　(1)(多选)已知00).(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
当a＝1时，f(x)＝ex－ln x，
切点坐标为(1，e)，斜率为f′(1)＝e－1，所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
(2)若对于任意的x>0，有f(x)≥0，求正数a的取值范围.
f(x)≥0，即ex＋x－ax－ln ax≥0(a>0，x>0)⇔ex＋x≥ax＋ln ax(a>0，x>0)⇔ex＋x≥eln ax＋ln ax(a>0，x>0).令g(x)＝ex＋x，显然g(x)是增函数，于是上式可化为g(x)≥g(ln ax)，即x≥ln ax(a>0，x>0)⇔ln a≤x－ln x(a>0，x>0).令φ(x)＝x－ln x(x>0)，
易知φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故φ(x)min＝φ(1)＝1，于是ln a≤1，可得02，∴x－1>1，
即证xex>(x－1)ln(x－1)，即证exln ex>(x－1)ln(x－1)，即证f(ex)>f(x－1)，
令φ(x)＝ex－(x－1)(x>2)，φ′(x)＝ex－1>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(2)＝e2－1>0，∴ex>x－1，即证原不等式成立.
指对同构的常用形式(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b) (b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
　　　已知a>0，函数f(x)＝xex－ax.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
当a＝1时，f(x)＝xex－x，所以f′(x)＝(x＋1)ex－1，所以f′(1)＝2e－1，f(1)＝e－1，所以切线方程为y－(e－1)＝(2e－1)(x－1)，即(2e－1)x－y－e＝0.
(2)若f(x)≥ln x－x＋1恒成立，求实数a的取值范围.
由题意得xex－ax≥ln x－x＋1，即xex－ln x＋x－1≥ax，
令t＝x＋ln x，易知t＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，t→－∞，当x→＋∞时，t→＋∞，
所以存在x0，使t＝x0＋ln x0＝0，令m(t)＝et－t－1，t∈R，因为m′(t)＝et－1，所以当t∈(－∞，0)时，m′(t)0，即m(t)在(0，＋∞)上单调递增，所以m(t)min＝m(0)＝0，所以m(t)≥m(0)＝0，
即m(t)＝et－t－1≥0，得到et≥t＋1，当且仅当t＝0时取等号，
当且仅当x＋ln x＝0时取等号，所以a≤2，又a>0，所以a的取值范围是(0,2].
1.(2023·南宁模拟)已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cs α－cs β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
构造函数f(x)＝x－cs x，则f′(x)＝1＋sin x≥0在定义域R上恒成立，所以函数f(x)＝x－cs x为增函数，又因为α＋β>0，所以α>－β，所以f(α)>f(－β)，即α－cs α>－β－cs(－β)，即α－cs α>－β－cs β，所以α＋β>cs α－cs β，即“α＋β>0”能推出“α＋β>cs α－cs β”；
根据α＋β>cs α－cs β，可得α－cs α>－β－cs β，即α－cs α>－β－cs(－β)，所以f(α)>f(－β)，所以α>－β，即α＋β>0，所以“α＋β>cs α－cs β”能推出“α＋β>0”，所以“α＋β>0”是“α＋β>cs α－cs β”的充要条件.
2.已知x∈N，y∈N，x0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)D.3a－1f(b＋1)，所以a>b＋1，所以a－b>1，所以ln(a－b)>ln 1＝0，A错误；因为a＋b>b＋1＋b>3>e，所以ln(a＋b)>ln e＝1，B正确；
因为a－1>b，所以3a－1>3b，D错误.
6.若f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是__________.
f(x)＝xex－a(x＋ln x)＝ex＋ln x－a(x＋ln x)，令t＝x＋ln x，t∈R，显然该函数为增函数.
(1)讨论函数g(x)在定义域内的单调性；
由g′(x)>0，得0