专题一　微重点1　导数中函数的构造问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题一　微重点1　导数中函数的构造问题--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，导数型构造函数，构造函数比较大小，专题强化练，综上bac，bac等内容，欢迎下载使用。

导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
考向1　利用f(x)与x构造
所以(x＋1)f′(x)－f(x)<0，
所以g(x)在定义域上是减函数，从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5)，
所以4f(2)>3f(3)，2f(1)>f(3)，2f(2)>f(5)，3f(1)>f(5).
(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝　　.
　　　(2023·常州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，若f(2)＝0，则不等式x2f(x)>0的解集是___________________.
(－2,0)∪(2，＋∞)
构造函数g(x)＝x2f(x)，其中f(x)为奇函数且x≠0，则g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，且g(2)＝0，g(－2)＝－g(2)＝0，当x>0时，g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为函数g(x)为奇函数，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增，故x2f(x)>0⇒g(x)>0，
当x<0时，g(x)>0＝g(－2)，可得－20时，g(x)>0＝g(2)，可得x>2.综上所述，不等式x2f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞).
考向2　利用f(x)与ex构造
　　(2023·黄山模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，则
因为f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立，所以g′(x)<0在R上恒成立，故g(x)是减函数，所以g(－1)>g(0)，
即f(1)(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
　函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<－1或x>1}D.{x|x<－1或0令φ(x)＝exf(x)－ex，x∈R，则φ′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1].又f(x)＋f′(x)>1，∴f(x)＋f′(x)－1>0，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在定义域上是增函数，不等式exf(x)>ex＋1可化为exf(x)－ex>1，又φ(0)＝e0f(0)－e0＝1，∴原不等式等价于φ(x)>φ(0)，故x>0，∴原不等式的解集为{x|x>0}.
考向3　利用f(x)与sin x，cs x构造
因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)也为偶函数，
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
(3)F(x)＝f(x)cs x，F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
令g(x)＝f(x)sin x，则g′(x)＝f(x)cs x＋f′(x)sin x，
构造函数f(x)＝2ln(x＋1)－x(0当00，f(x)在(0,1)上单调递增，
A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.a>c>b
设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0⇒x<0，令f′(x)>0⇒x>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，得ex≥x＋1.
构造函数比较大小的常见类型(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小.
f′(x)<0⇒x>e，
所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减，又因为e<3<π，所以f(e)>f(3)>f(π)，即a>c>b.
(2)已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为A.b>c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c
构造函数f(x)＝(22－x)ln x，x≥10，
故f(x)＝(22－x)ln x在[10，＋∞)上单调递减，
所以f(10)>f(11)>f(12)，即12ln 10>11ln 11>10ln 12，所以1012>1111>1210，即a>b>c.
1.(2023·汉中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝3f(ln 3)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是A.c>b>a B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a
令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f′(x)＋f(x)>0，而ex>0恒成立，所以g′(x)>0，所以g(x)在定义域上是增函数，又0<1＝ln eb＝3f(ln 3)＝eln 3f(ln 3)＝g(ln 3)，c＝ef(1)＝g(1)，所以b>c>a.
2.(2023·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)－1<0，f(e)＝2，则关于x的不等式f(ex)令函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
因此函数g(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数，g(e)＝f(e)－ln e＝1，因此f(ex)e，解得x>1，所以不等式f(ex)A.a设函数g(x)＝f(x)cs x，则g′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x，因为f′(x)cs x－f(x)sin x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，π)上是增函数，
A.a∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
依题意，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.
所以F(x)在区间(0,4]上单调递增，所以F(1)6.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对于任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝－1，则不等式f(x)<5ex的解集为A.(－∞，－2)∪(3，＋∞)B.(－∞，－3)∪(2，＋∞)C.(－2,3)D.(－3,2)
∵f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，
即g′(x)＝2x－1，∴g(x)＝x2－x＋c， ②
∴f(x)＝ex(x2－x＋c)，又f(0)＝－1，∴e0·c＝－1，即c＝－1，
∴－27.已知a，b，c∈(1，＋∞)，且a－ln a－1＝e－1，b－ln b－2＝e－2，c－ln c－4＝e－4，其中e是自然对数的底数，则A.a由题意可得a－ln a＝e－1＋1，b－ln b＝e－2＋2，c－ln c＝e－4＋4，令f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－e－x＋1，因为当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(1)因为当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又因为a，b，c∈(1，＋∞)且g(a)A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b
故f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(0.1)构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x，x∈(－1,0]，
9.(2023·吉林省实验校考模拟)已知a＝sin 0.9，b＝0.9，c＝cs 0.9，则a，b，c的大小关系是________.
令函数f(x)＝x－sin x，x>0，则f′(x)＝1－cs x≥0恒成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，则f(0.9)＝0.9－sin 0.9>0，于是0.9>sin 0.9，即b>a；
所以sin x>cs x，
于是sin 0.9>cs 0.9，即a>c.综上，b>a>c.
10.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(x)－f(－x)＝2sin x，且在[0，＋∞)上，f′(x)>cs x.若　　　 －f(t)>cs t－sin t，则实数t的取值范围为____________.
因为f(x)－f(－x)＝2sin x，所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)，设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R，可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数，在[0，＋∞)上有f′(x)>cs x，所以g′(x)＝f′(x)－cs x>0，x∈[0，＋∞)，故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减，