专题一　微重点2　函数的公切线问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题一　微重点2　函数的公切线问题--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点二，考点三，考点四，判断公切线条数，求参数的取值范围，专题强化练，考点一，求两函数的公切线，y＝ex－1或y＝x，e＝0等内容，欢迎下载使用。

函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
与公切线有关的求值问题
　(2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则直线l的方程为________________.
设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)，
整理得(a－1)(ea－1)＝0，解得a＝1或a＝0，当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；当a＝0时，l的方程为y＝x.
求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
　　　(2023·南平模拟)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________________.
设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同，
由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
　　(2023·德阳模拟)已知曲线y＝ex在点(x1，y1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，y2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于A.－1 B.－2C.1 D.2
根据常用函数的导数可知y＝ex⇒y′＝ex，
则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为y－y1＝　 (x－x1)，
化简得x1x2＋x2－x1＋1＝0⇒(x1＋1)(x2－1)＝－2.
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程.
　已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于A.0 B.－1C.3 D.－1或3
设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)，由f(x)＝xln x得f′(x)＝1＋ln x，可得切线的斜率为1＋ln m，则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，
可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
　(2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是A.0 B.1C.2 D.3
与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)，
令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，
即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，
即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2.
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.
　　　已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.3 　　　 B.2 　　　 C.1 　　　 D.0
构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，h′(x)＝8x(3x－2)，
故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条.
由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex，
同理y－y2＝　 (x－x2)，因为y2＝ 　，整理得y＝　　x＋ (1－x2)，
消去x1，得4k＝－　(x2－1)2，由题意此方程有三个不相等的实根，设h(x)＝－ex(x－1)2，
即直线y＝4k与曲线h(x)有三个不同的交点，因为h′(x)＝ex(1－x2)，令h′(x)＝0，则x＝±1，当x<－1或x>1时，h′(x)<0；当－10，所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1，h(x)有极大值为h(1)＝0，因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0，当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0；
当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞，故h(x)的大致图象如图.
利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
由此得到m＝2n－2，
1.已知直线l为曲线y＝x＋1＋ln x在A(1,2)处的切线，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，则a等于A.0 B.－4C.4 D.0或4
因为y＝x＋1＋ln x，
所以曲线y＝x＋1＋ln x在A(1,2)处的切线方程为y－2＝2x－2，即y＝2x.由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
得ax2＋ax＋1＝0，
当a＝0时，1＝0，不成立；又a≠0，两线相切有一切点，所以Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(舍去).
2.(2023·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则m＋n等于A.4 B.5C.6 D.8
设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b,3b＋m)，对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a>0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b>0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，
所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b>0，所以b＝2，n＝7.所以m＋n＝－2＋7＝5.
3.已知曲线C1：y＝x3，曲线C2：y＝cs x－1与直线l：y＝0，则A.l与C1，C2均相切B.l与C1，C2均不相切C.l与C1相切，l与C2不相切D.l与C1不相切，l与C2相切
设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0，
所以x0＝0，y0＝0，切线方程为y＝0，设曲线C2：y＝cs x－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0，则－sin x1＝0，y1＝cs x1－1，所以x1＝2kπ，y1＝0或x1＝2kπ＋π，y1＝－2，取x1＝0，y1＝0可得切线方程为y＝0，所以l与C1，C2均相切.
4.对于三次函数f(x)，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线y＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则f′(2)等于A.－34 B.－14C.－4 D.14
设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，∵f(0)＝d＝0，∴f(x)＝ax3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
设g(x)＝xf(x)，则g(1)＝f(1)＝a＋b＋2＝2，即a＋b＝0，①
又∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2，∴f′(1)＝0，即3a＋2b＋2＝0，②由①②可得a＝－2，b＝2，c＝2，∴f′(2)＝－14.
5.与曲线f(x)＝x3－x和y＝x2＋ 均相切的直线l有A.1条 B.2条C.3条 D.4条
由f′(x)＝3x2－1，
直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g′(x)＝2x，
x1＝0也满足方程，故x1有3个解，所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条.
6.若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)＝ x2＋2ax－2b与g(x)＝3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为
设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
g(x)＝3a2·ln x，
因为直线l与f(x)，g(x)都相切，
则两切点重合，即f(a)＝g(a)，
则h′(a)＝2a－6aln a＝2a(1－3ln a)，
7.(2023·嘉兴模拟)已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－ 均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为____.
设C1，C2上的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
8.已知曲线C1：y＝ex＋a和曲线C2：y＝ln(x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的最大值为_____.
令f(x)＝ex＋a，g(x)＝ln(x＋b)＋a2，
设斜率为1的切线在C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2，
两点处的切线方程分别为y－(1＋a)＝x和y－a2＝x－(1－b)，故a＋1＝a2－1＋b，
9.请你举出与函数f(x)＝e2x－1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：_______________________.
y＝x2＋2x(答案不唯一)
由题意得f′(x)＝2e2x，故f′(0)＝2e0＝2，故函数f(x)＝e2x－1在原点(0,0)处的切线方程为y＝2x；故可考虑如函数g(x)＝ax2＋bx的形式，此时g′(x)＝2ax＋b，故g′(0)＝b＝2，取a＝1，此时g(x)＝x2＋2x.
10.若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是___________.
设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，