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专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形--高三高考数学复习-PPT
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这是一份专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，三角恒等变换，解三角形的实际应用，专题强化练，解得AD＝2，因为0Aπ，整理可得x2＝12，①求角A的大小等内容，欢迎下载使用。
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积 等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范 围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.
正弦定理、余弦定理及综合应用
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcs α；(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
由3cs 2α－4cs α＋1＝0得3(2cs2α－1)－4cs α＋1＝0，化简得3cs2α－2cs α－1＝0，
三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂.(4)弦、切互化：一般是切化弦.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cs x，若当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cs θ＝________.
考向1 正弦定理、余弦定理
所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2，即a2＋c2－b2＝－ac，
(2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝_____.
方法一 在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cs 60°，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
方法二 在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cs 60°，
所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，
又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.
考向2 解三角形中的最值与范围问题
(2023·大连模拟)从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，________.(1)求角A；
选①，由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
又因为A＋C＝π－B，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin Ccs A，
因为0
在△ACD中，设∠ADC＝θ，θ∈(0，π)，由正弦定理得
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围.(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.
(1)(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于
方法一 设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD中，由余弦定理的推论可得，
在△ABD中，由余弦定理的推论可得，
又∠ADC＋∠ADB＝π，所以cs∠ADC＝－cs∠ADB，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC
＝－cs Acs B＋sin Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
②若a＝2，求△ABC的周长的取值范围.
所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.又因为b＋c>a＝2，所以4
(1)(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1 m，a2 m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为
设建筑物的高度为x，如图所示，由△HGF∽△DEF，
所以ha＋xa1＝xa2，即x(a1－a2)＝－ha，
(2)(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行
600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米.
由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，
又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，
在△ABC中，∠ACB＝∠DCA－∠DCB＝75°－30°＝45°，
解三角形实际问题的步骤
(1)(2023·湖州、衢州、丽水质检)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约是
A.91米 B.101米C.111米 D.121米
由题设∠CBD＝30°，
(2)(2023·广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________ m.
因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，所以AD＝CD＝35，又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，在△BCD中，由正弦定理得
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB
一、单项选择题1.(2023·汕头模拟)在△ABC中，已知C＝45°，b＝ ，c＝2，则角B为A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°
又因为c>b，可得C>B，即0°
由acs A＋bcs(A＋C)＝0，得acs A－bcs B＝0，由正弦定理得sin Acs A－sin Bcs B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，因为0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
4.(2023·南充模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，
5.(2023·烟台模拟)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cs β，tan α＝2，则tan β的值为
因为sin(2α＋β)＝cs β，所以sin(α＋α＋β)＝cs(α＋β－α)，即sin αcs(α＋β)＋cs αsin(α＋β)＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，显然cs α≠0，两边同除cs α得，tan αcs(α＋β)＋sin(α＋β)＝cs(α＋β)＋tan αsin(α＋β)，2cs(α＋β)＋sin(α＋β)＝cs(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cs(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cs(α＋β)≠0，
即2a2＋2b2＝5abcs C，
当且仅当a＝b时，等号成立，又y＝cs x在(0，π)上单调递减，C∈(0，π)，
二、多项选择题7.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4B.△ABC为钝角三角形
设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，t>0，则a＝3t，b＝2t，c＝4t，对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；对于B，c最大，所以C最大，
对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，
对于D，由正弦定理的推论得
△ABC的周长l＝9t，
三、填空题9.(2023·开封模拟)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝ ，则△ABC的面积为________.
由余弦定理可得，AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cs C，
所以CA2＋3CA－40＝0，解得CA＝5或CA＝－8(舍去)，
sin 3θ＝sin(θ＋2θ)＝sin θcs 2θ＋cs θsin 2θ＝sin θ(1－2sin2θ)＋2sin θcs2θ ＝3sin θ－4sin3θ，
11.(2023·泉州统考)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于2023年6月4日成功返回地面.本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻.如图，神舟十五号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为392π m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D
和观测点A在同一水平线上.在遥控观测点A处测得点B的仰角为45°，线段BC的视角(即∠BAC)的正弦值为 ，则此时返回舱底端离地面的高度约为______m.
则R＝14，所以BC＝5R＝70，因为仰角∠BAD＝45°，
所以在Rt△ACD中，
故返回舱底端离地面的高度约为50 m.
设CD＝2m，则AD＝3m，在△BCD中，
又cs∠BDC＝cs(π－∠BDA)＝－cs∠BDA，
整理得c2＝9m2＋6，①
因为0
(2)求△ABC内切圆的半径.
设△ABC内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，
由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcs∠ADB，
在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcs∠ADC，
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
方法一 在△ABD与△ACD中，由余弦定理得
解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，
方法二 在△ABC中，因为D为BC的中点，
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积 等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范 围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.
正弦定理、余弦定理及综合应用
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcs α；(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
由3cs 2α－4cs α＋1＝0得3(2cs2α－1)－4cs α＋1＝0，化简得3cs2α－2cs α－1＝0，
三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂.(4)弦、切互化：一般是切化弦.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cs x，若当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cs θ＝________.
考向1 正弦定理、余弦定理
所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2，即a2＋c2－b2＝－ac，
(2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝_____.
方法一 在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cs 60°，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
方法二 在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cs 60°，
所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，
又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.
考向2 解三角形中的最值与范围问题
(2023·大连模拟)从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，________.(1)求角A；
选①，由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccs A，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
又因为A＋C＝π－B，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋sin Ccs A，
因为0
在△ACD中，设∠ADC＝θ，θ∈(0，π)，由正弦定理得
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围.(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.
(1)(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于
方法一 设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD中，由余弦定理的推论可得，
在△ABD中，由余弦定理的推论可得，
又∠ADC＋∠ADB＝π，所以cs∠ADC＝－cs∠ADB，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC
＝－cs Acs B＋sin Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
②若a＝2，求△ABC的周长的取值范围.
所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.又因为b＋c>a＝2，所以4
(1)(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1 m，a2 m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为
设建筑物的高度为x，如图所示，由△HGF∽△DEF，
所以ha＋xa1＝xa2，即x(a1－a2)＝－ha，
(2)(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行
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由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，
又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，
在△ABC中，∠ACB＝∠DCA－∠DCB＝75°－30°＝45°，
解三角形实际问题的步骤
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A.91米 B.101米C.111米 D.121米
由题设∠CBD＝30°，
(2)(2023·广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________ m.
因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，所以AD＝CD＝35，又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，在△BCD中，由正弦定理得
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB
一、单项选择题1.(2023·汕头模拟)在△ABC中，已知C＝45°，b＝ ，c＝2，则角B为A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°
又因为c>b，可得C>B，即0°
由acs A＋bcs(A＋C)＝0，得acs A－bcs B＝0，由正弦定理得sin Acs A－sin Bcs B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，因为0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
4.(2023·南充模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，
5.(2023·烟台模拟)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cs β，tan α＝2，则tan β的值为
因为sin(2α＋β)＝cs β，所以sin(α＋α＋β)＝cs(α＋β－α)，即sin αcs(α＋β)＋cs αsin(α＋β)＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，显然cs α≠0，两边同除cs α得，tan αcs(α＋β)＋sin(α＋β)＝cs(α＋β)＋tan αsin(α＋β)，2cs(α＋β)＋sin(α＋β)＝cs(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cs(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cs(α＋β)≠0，
即2a2＋2b2＝5abcs C，
当且仅当a＝b时，等号成立，又y＝cs x在(0，π)上单调递减，C∈(0，π)，
二、多项选择题7.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4B.△ABC为钝角三角形
设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，t>0，则a＝3t，b＝2t，c＝4t，对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；对于B，c最大，所以C最大，
对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，
对于D，由正弦定理的推论得
△ABC的周长l＝9t，
三、填空题9.(2023·开封模拟)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝ ，则△ABC的面积为________.
由余弦定理可得，AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cs C，
所以CA2＋3CA－40＝0，解得CA＝5或CA＝－8(舍去)，
sin 3θ＝sin(θ＋2θ)＝sin θcs 2θ＋cs θsin 2θ＝sin θ(1－2sin2θ)＋2sin θcs2θ ＝3sin θ－4sin3θ，
11.(2023·泉州统考)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于2023年6月4日成功返回地面.本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻.如图，神舟十五号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为392π m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D
和观测点A在同一水平线上.在遥控观测点A处测得点B的仰角为45°，线段BC的视角(即∠BAC)的正弦值为 ，则此时返回舱底端离地面的高度约为______m.
则R＝14，所以BC＝5R＝70，因为仰角∠BAD＝45°，
所以在Rt△ACD中，
故返回舱底端离地面的高度约为50 m.
设CD＝2m，则AD＝3m，在△BCD中，
又cs∠BDC＝cs(π－∠BDA)＝－cs∠BDA，
整理得c2＝9m2＋6，①
因为0
(2)求△ABC内切圆的半径.
设△ABC内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，
由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcs∠ADB，
在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcs∠ADC，
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
方法一 在△ABD与△ACD中，由余弦定理得
解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，
方法二 在△ABC中，因为D为BC的中点，
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