专题二　微重点4　平面向量数量积的最值与范围问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题二　微重点4　平面向量数量积的最值与范围问题--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，考点一，考点二，考点三，求参数的最值范围，专题强化练，规律方法，易错提醒，作出如图所示的图形，所以OB⊥OC等内容，欢迎下载使用。

平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法.
求向量模、夹角的最值(范围)
求向量数量积的最值(范围)
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为A.[－1,3] B.[－1,5]C.[－7,3] D.[5,7]
∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1，a·b＝2×1×cs θ＝2cs θ，∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cs θ≥0恒成立，∵cs θ∈[－1,1]，
利用共线向量定理及推论(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0).
如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O作OA的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
　　(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为A.4 B.5C.6 D.7
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的余弦值的最小值为________.
设|b|＝m，|a|＝3m，又|a－b|＝4，则1找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π].若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线.
　　　(1)(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________________.
因为a＝(1,2)，b＝(1,1)，所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，因为a与a＋λb的夹角为锐角，所以a·(a＋λb)>0，且a与a＋λb不共线，
由|a＋b|2＝4，得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cs θ＝4，
当且仅当|a|＝|b|时，等号成立，
由题意可得△OAB为直角三角形，
则A(cs α，0)，B(0，sin α)，
如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得C(cs α＋sin α，cs α)，
连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
所以由勾股定理可得|PA|＝1，
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，
＝cs2θ－sin θcs θ
向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
　　　(1)(2023·台州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(含边界)一点，M为边BC的中点，则　　 　的取值范围是A.[－2,6] B.[－1,9]C.[－2,4] D.[－1,6]
分别过C，F作CK⊥AM，FH⊥AM，K，H为垂足，
因为ABCDEF是正六边形，所以以AB为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
1.(2023·咸阳模拟)已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为
由题意，∵|a＋b|＝6，∴a2＋b2＋2a·b＝36，∵|a|＝|b|＝5，∴a·b＝－7，∴|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2＝25t2＋2t×(－7)＋25＝25t2－14t＋25
又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cs x在[0，π]上单调递减，
所以λ＋μ＝2(1－k)＋k＝2－k∈[1,2].
4.(2023·北京模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝2，|a－λe|＝1，则|a|的最大值为A.1 　　　B.2 　　　C. 　　　　D.4
依题意设e＝(1,0)，a＝(x，y)，因为a·e＝2，所以x＝2，则a＝(2，y)，又a－λe＝(2，y)－(λ，0)＝(2－λ，y)，且|a－λe|＝1，
即y2＝1－(2－λ)2，
7.(多选)(2023·南通模拟)平面向量a，b满足a2－a·b－4＝0，|b|＝3，则|a|的取值可能是A.1 B.3C.4 D.6
设向量a，b的夹角为θ，∵a2－a·b－4＝0，|b|＝3，∴a2－4＝a·b＝3|a|cs θ，
∵|a|>0，∴解得1≤|a|≤4.
以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系，则A(－1，－1)，B(1，－1)，D(－1,1)，设P(cs θ，sin θ)，θ∈[0,2π)，
(1＋cs θ，1＋sin θ)＝λ(2,0)＋μ(0,2)，
又cs∠BCD∈(－1,1)，所以1－1×2cs∠BCD＝1－2cs∠BCD∈(－1,3).
10.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是_____，最大值是________.
∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|＝4，且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|＝2|b|＝6，∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，当且仅当2a＋b与2a－b反向时等号成立.此时|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为6.
当且仅当|2a＋b|＝|2a－b|时等号成立，