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专题五 第1讲 计数原理与概率--高三高考数学复习-PPT
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这是一份专题五 第1讲 计数原理与概率--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，排列与组合问题，二项式定理，专题强化练，核心提炼，条件概率公式，－120等内容，欢迎下载使用。
1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选 择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等 式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.
解决排列、组合问题的一般过程：(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.
(1)(2023·信阳模拟)直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5月30日神舟十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有A.72种 B.144种C.180种 D.288种
所以不同的站法有18×8＝144(种).
(2)(多选)(2023·重庆模拟)教育部发布了《中国高考报告2023》，为让学生对高考有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天.则下列结论正确的是A.从5位教师中选2位的不同选法共有20种B.数学不排在第一天的不同排法共有96种C.数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种D.物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种
排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.
(1)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____种(用数字作答).
②当从8门课中选修3门时，
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).
(2)(多选)(2023·白银模拟)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有A.不同的摆放方法共有120种B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同 的摆放方法共有36种C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同 的摆放方法共有72种D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆 放方法共有36种
1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求.2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.
(1)(2023·湖北八市联考)已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中含x3项的系数为20，则实数a的值为______.
因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，二项式的通项为Tk＋1＝令6－k＝3，解得k＝3，
(2)(多选)(2023·临沂模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论中正确的是A.a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2B.a1－a2＋a3－a4＋…－a2 022＋a2 023＝1－32 023C.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝4 046D.|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝32 023
对于A选项，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－1，
对于B选项，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023，－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023－1，故a1－a2＋a3－a4＋…－a2 022＋a2 023＝1－32 023，故B正确；对于C选项，记y＝(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则y′＝－4 046(1－2x)2 022＝a1＋2a2x＋…＋2 023a2 023x2 022，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝－4 046，故C错误；
当k为奇数时，系数为负数，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023－1，故D错误.
(1)(2023·龙岩质检)在(1＋x)· 的展开式中，x的系数为A.12 B.－12 C.6 D.－6
(2)(多选)(2023·宿迁模拟)设(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，则下列结论中正确的是A.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36B.a2＋a3＝－100C.a1，a2，a3，…，a6中最大的是a2D.当x＝7时，(2x＋1)6除以16的余数是1
对A，对题中式子，令x＝－2，则[2×(－2)＋1]6＝a0－a1＋a2－…＋a6＝36，故A正确；
对D，当x＝7时，(2x＋1)6＝156＝(16－1)6
所以(2×7＋1)6除以16的余数是1，故D正确.
1.古典概型的概率公式
3.全概率公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)
(1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输 方案译码为0的概率
对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1这4个事件的和，它们互斥，所求的概率为 (1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；
对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确.
(2)(多选)现有来自某校高三年级的3袋专项计划审核表，第一袋有4名男生和2名女生的高校专项审核表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审核表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审核表.现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审核表，设Ai＝“抽到第i袋”(i＝1,2,3)，B＝“随机抽取一份，抽到女生的审核表”，则
求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.
(1)(2023·青岛模拟)将四位数2 023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为
将2 023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 203,2 230,3 220,3 022,2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共9个，所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的样本点有2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共5个，所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为
(2)(多选)(2023·黄冈调研)1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题(著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题)，在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2,3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是
D.在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选 2号门比保持原选择获得豪车的概率更大
设A1，A2，A3分别表示1,2,3号门里有豪车，用B1，B2，B3分别表示主持人打开1,2,3号门.对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件A1，A2，A3发生的概率仍然为 ，即A正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故P(B3|A2)＝1，豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故P(B3|A3)＝0，
对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率分别为
故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即C错误，D正确.
一、单项选择题1.(2023·汕头模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为A.2563 B.27 C.2553 D.6
分三步取色，第一步、第二步、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色.
2. 的展开式的第3项的系数是A.112 B.－112C.－28 D.28
可得第3项的系数是112.
3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有A.30种 B.60种C.120种 D.240种
4.(2023·信阳模拟)2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元.某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为
5.(2023·合肥模拟)某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有A.150种 B.540种 C.900种 D.1 440种
∴不同的分配方案共有6×(90＋60)＝900(种).
6.(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.
方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，
A.－2 B.－1 C.1 D.2
令5－2k＝－1，解得k＝3，
所以10m－10＝10，解得m＝2.
8.(2023·昆明模拟)随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私加以保护，又能获得所需要的真实信息.某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”.
①若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；②若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”.当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为A.50% B.60% C.70% D.80%
抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，记一次正面朝上一次反面朝上为事件A，则共有2种情况满足要求，
设回答②且画“√”为事件C，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为70%.
二、多项选择题9.(2023·南京模拟)在 的展开式中A.常数项为160B.含x2项的系数为60C.第4项的二项式系数为15D.所有项的系数和为1
10.某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1 154种C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一 排，则购票的情况共有508种
11.(2023·莆田模拟)甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Ai(i＝0,1,2)表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则
A0表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，A1表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，A2表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次试验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；
P(B)＝P(B|A0)P(A0)＋P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)
则P(A1B)＝P(A1)P(B)，所以B与A1相互独立，故D错误.
对于A，令x＝1，可得a1＝12 023＝1，所以A正确；对于B，令x＝2，可得2a1＋2a2＝22 023，所以a1＋a2＝22 022，所以B不正确；
可得x2 023＝a1x＋a2x(x－1)＋…＋a2 023x(x－1)·(x－2)…(x－2 022)，
令x＝－1，可得－1＝－a1＋2！a2－3！a3＋4！a4＋…－2 023！a2 023，因为a1＝1，所以2！a2－3！a3＋…－2 023！a2 023＝0，
＝a2＋a3(x－2)＋…＋a2 023(x－2)(x－3)…(x－2 022)，取x＝1，可得2 022＝a2－a3＋2！·a4－…－2 021！·a2 023，
三、填空题13.(x－2y＋1)6展开式中含x2y项的系数为________.
14.北京日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如图所示.某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后
经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开.已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径.则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过____个主要景点；该小组全程共有____条行动路线可供选择.
该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门，共5个；各路口与景点标记如图所示，该小组全程行动路线可分三类：第一类：由A经H到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到H的路线有：AFGH，AFGDEH，ABDGH，ABDEH，
第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO，IMKLNO，IMNLKO，JLKO，JLNO，共有4×5＝20(种).第二类：由A经I到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到I的路线有：AFI，ABDGFI，ABDEHGFI，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：JLKO，JLNO，共有3×2＝6(种).
第三类：由A经J到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到J的路线有：ABCJ，AFGDBCJ，AFGHEDBCJ，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO，IMKLNO，IMNLKO，共有3×3＝9(种).因此，共有20＋6＋9＝35(种).
电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率
16.(2023·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”.现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是______.
和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，
1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选 择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等 式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.
解决排列、组合问题的一般过程：(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.
(1)(2023·信阳模拟)直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5月30日神舟十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有A.72种 B.144种C.180种 D.288种
所以不同的站法有18×8＝144(种).
(2)(多选)(2023·重庆模拟)教育部发布了《中国高考报告2023》，为让学生对高考有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天.则下列结论正确的是A.从5位教师中选2位的不同选法共有20种B.数学不排在第一天的不同排法共有96种C.数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种D.物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种
排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.
(1)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____种(用数字作答).
②当从8门课中选修3门时，
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).
(2)(多选)(2023·白银模拟)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有A.不同的摆放方法共有120种B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同 的摆放方法共有36种C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同 的摆放方法共有72种D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆 放方法共有36种
1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求.2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.
(1)(2023·湖北八市联考)已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中含x3项的系数为20，则实数a的值为______.
因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，二项式的通项为Tk＋1＝令6－k＝3，解得k＝3，
(2)(多选)(2023·临沂模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论中正确的是A.a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2B.a1－a2＋a3－a4＋…－a2 022＋a2 023＝1－32 023C.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝4 046D.|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝32 023
对于A选项，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－1，
对于B选项，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023，－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023－1，故a1－a2＋a3－a4＋…－a2 022＋a2 023＝1－32 023，故B正确；对于C选项，记y＝(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则y′＝－4 046(1－2x)2 022＝a1＋2a2x＋…＋2 023a2 023x2 022，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝－4 046，故C错误；
当k为奇数时，系数为负数，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023－1，故D错误.
(1)(2023·龙岩质检)在(1＋x)· 的展开式中，x的系数为A.12 B.－12 C.6 D.－6
(2)(多选)(2023·宿迁模拟)设(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，则下列结论中正确的是A.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36B.a2＋a3＝－100C.a1，a2，a3，…，a6中最大的是a2D.当x＝7时，(2x＋1)6除以16的余数是1
对A，对题中式子，令x＝－2，则[2×(－2)＋1]6＝a0－a1＋a2－…＋a6＝36，故A正确；
对D，当x＝7时，(2x＋1)6＝156＝(16－1)6
所以(2×7＋1)6除以16的余数是1，故D正确.
1.古典概型的概率公式
3.全概率公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)
(1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输 方案译码为0的概率
对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1这4个事件的和，它们互斥，所求的概率为 (1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；
对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确.
(2)(多选)现有来自某校高三年级的3袋专项计划审核表，第一袋有4名男生和2名女生的高校专项审核表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审核表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审核表.现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审核表，设Ai＝“抽到第i袋”(i＝1,2,3)，B＝“随机抽取一份，抽到女生的审核表”，则
求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.
(1)(2023·青岛模拟)将四位数2 023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为
将2 023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 203,2 230,3 220,3 022,2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共9个，所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的样本点有2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共5个，所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为
(2)(多选)(2023·黄冈调研)1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题(著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题)，在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2,3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是
D.在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选 2号门比保持原选择获得豪车的概率更大
设A1，A2，A3分别表示1,2,3号门里有豪车，用B1，B2，B3分别表示主持人打开1,2,3号门.对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件A1，A2，A3发生的概率仍然为 ，即A正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故P(B3|A2)＝1，豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故P(B3|A3)＝0，
对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率分别为
故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即C错误，D正确.
一、单项选择题1.(2023·汕头模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为A.2563 B.27 C.2553 D.6
分三步取色，第一步、第二步、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色.
2. 的展开式的第3项的系数是A.112 B.－112C.－28 D.28
可得第3项的系数是112.
3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有A.30种 B.60种C.120种 D.240种
4.(2023·信阳模拟)2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元.某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为
5.(2023·合肥模拟)某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有A.150种 B.540种 C.900种 D.1 440种
∴不同的分配方案共有6×(90＋60)＝900(种).
6.(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.
方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，
A.－2 B.－1 C.1 D.2
令5－2k＝－1，解得k＝3，
所以10m－10＝10，解得m＝2.
8.(2023·昆明模拟)随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私加以保护，又能获得所需要的真实信息.某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”.
①若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；②若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”.当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为A.50% B.60% C.70% D.80%
抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，记一次正面朝上一次反面朝上为事件A，则共有2种情况满足要求，
设回答②且画“√”为事件C，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为70%.
二、多项选择题9.(2023·南京模拟)在 的展开式中A.常数项为160B.含x2项的系数为60C.第4项的二项式系数为15D.所有项的系数和为1
10.某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1 154种C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一 排，则购票的情况共有508种
11.(2023·莆田模拟)甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Ai(i＝0,1,2)表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则
A0表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，A1表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，A2表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次试验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；
P(B)＝P(B|A0)P(A0)＋P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)
则P(A1B)＝P(A1)P(B)，所以B与A1相互独立，故D错误.
对于A，令x＝1，可得a1＝12 023＝1，所以A正确；对于B，令x＝2，可得2a1＋2a2＝22 023，所以a1＋a2＝22 022，所以B不正确；
可得x2 023＝a1x＋a2x(x－1)＋…＋a2 023x(x－1)·(x－2)…(x－2 022)，
令x＝－1，可得－1＝－a1＋2！a2－3！a3＋4！a4＋…－2 023！a2 023，因为a1＝1，所以2！a2－3！a3＋…－2 023！a2 023＝0，
＝a2＋a3(x－2)＋…＋a2 023(x－2)(x－3)…(x－2 022)，取x＝1，可得2 022＝a2－a3＋2！·a4－…－2 021！·a2 023，
三、填空题13.(x－2y＋1)6展开式中含x2y项的系数为________.
14.北京日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如图所示.某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后
经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开.已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径.则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过____个主要景点；该小组全程共有____条行动路线可供选择.
该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门，共5个；各路口与景点标记如图所示，该小组全程行动路线可分三类：第一类：由A经H到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到H的路线有：AFGH，AFGDEH，ABDGH，ABDEH，
第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO，IMKLNO，IMNLKO，JLKO，JLNO，共有4×5＝20(种).第二类：由A经I到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到I的路线有：AFI，ABDGFI，ABDEHGFI，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：JLKO，JLNO，共有3×2＝6(种).
第三类：由A经J到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到J的路线有：ABCJ，AFGDBCJ，AFGHEDBCJ，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO，IMKLNO，IMNLKO，共有3×3＝9(种).因此，共有20＋6＋9＝35(种).
电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率
16.(2023·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”.现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是______.
和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，
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