专题六　第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题六　第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，弦长问题，面积问题，中点弦问题，专题强化练，核心提炼，解答题等内容，欢迎下载使用。

直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
　已知点P在圆O：x2＋y2＝4上运动，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M为线段PD的中点(当点P为圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合).(1)求点M的轨迹方程；
设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)，
若直线l的斜率存在，设为k，如图，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
得3k4－k2－2＝0，解得k＝±1.
(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉.(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
　　　已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的实轴长为6，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，AF2⊥x轴，且|AF1|＝7.(1)求双曲线C及其渐近线的方程；
由题意知，2a＝6，即a＝3，由AF2⊥x轴，可知xA＝c，
(2)如图，若过点F1且斜率为k(k>0)的直线l与双曲线C及其两条渐近线从左至右依次交于M，P，Q，N四点，且|MN|＝2|PQ|，求k.
由(1)可知，c2＝a2＋b2＝12，
M(x1，y1)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)，N(x4，y4)，
即36k4＝(12k2－1)(3k2－1)，
　(2023·合肥模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足∠F1AF2＝60°，且|BF2|＝2|AF2|.(1)求双曲线C的离心率；
由对称性可知|BF2|＝|AF1|，故|AF1|＝2|AF2|，由双曲线定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，即2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，又因为|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，
当直线l的斜率不存在时，则PQ⊥F1F2，
所以直线l的斜率不存在时不成立.当直线l的斜率存在时，如图，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.
如图，因为直线AB的倾斜角为60°，
消去x并整理得11y2－12y－36＝0，Δ＝144＋4×11×36>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
　(2023·呼和浩特模拟)已知抛物线T：y2＝2px(p>0)和椭圆C：过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若p∈N*，且MN恰好被AB平分，求△OAB的面积.
消去x得y2－2mpy－p2＝0，Δ＝4m2p2＋4p2>0，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
因为p∈N*，所以p的值是1，
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
假设存在符合条件的直线l，易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB的中点为P(2,1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，
可得Δ＝(－4)2－4×6<0，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点P(2,1)的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P.
一、单项选择题1.若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一公共点，那么a的值为
因为方程x2＋3y2＝a表示的曲线为椭圆，则a>0，将直线y＝x－1的方程与椭圆的方程联立，得
又线段AB的中点坐标为(－1，－4)，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，
△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，
解得a＝4，即2a＝8，故双曲线C的实轴长为8.
6.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－ ＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1，－4)
设O为坐标原点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于A，可得kOM＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x－8，
消去y得72x2－144x＋73＝0，此时Δ＝(－144)2－4×72×73＝－288<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
消去y得45x2＋90x＋61＝0，此时Δ＝902－4×45×61＝－2 880<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于C，可得kOM＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x，由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
消去y得63x2＋126x－193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193>0，所以直线AB与双曲线有两个交点，故D正确.
所以△ABF2的周长|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20，A正确；
对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以P(±a，0)，
三、填空题9.已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，则k的取值范围为____________________________.
可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，当1－k2＝0时，即k＝±1时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；当1－k2≠0时，Δ＝4k2＋20(1－k2)＝20－16k2<0，
10.(2023·天津)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为____.
易知圆(x＋2)2＋y2＝3和曲线y2＝2px(p>0)均关于x轴对称，不妨设切线方程为y＝kx，k>0，
12.(2023·佛山模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点P，F到l的距离为2，过P的直线与抛物线依次交于A，B两点(点A在P，B两点之间)，则kFA＋kFB＝____；设直线FA交y轴于点M，直线FB交准线l于点N，则 ＝____.
∵F到准线l的距离为2，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，准线l：x＝－1，P(－1,0)，F(1,0)，由题意可设直线AB：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＝16m2－16>0，解得m<－1或m>1，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4，
设kFA＝k，则kFB＝－k，∴直线FA：y＝k(x－1)，直线FB：y＝－k(x－1)，∴M(0，－k)，N(－1,2k)，
由题意，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(2)记A(－1,0)，探究：是否存在直线l，使得|AP|＝|AQ|，若存在，写出满足条件的直线l的一个方程；若不存在，请说明理由.
假设存在满足题意的直线l，由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l：y＝kx＋m，k≠0，
消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，解得2k2＋1>m2，①
若直线l′过点A，则把点A(－1,0)代入l′的方程得2k2＋1＝mk，②联立①②消去m得(2k2＋1)(k2＋1)<0，无解，故不存在直线l，使得|AP|＝|AQ|.
解得a＝2，c＝1.∴a2＝4，b2＝a2－c2＝3.
由题意知直线l的斜率为0时显然不成立.设直线l的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示.
显然Δ＝144(m2＋1)>0.
化简得9m4－3m2－20＝0，即(3m2＋4)(3m2－5)＝0，