专题六　培优点7　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题六　培优点7　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，隐圆阿波罗尼斯圆，蒙日圆，考点三，阿基米德三角形，专题强化练，核心提炼，∵m2＝3＋4k2，解得p＝2等内容，欢迎下载使用。

在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
　　(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A，B为平面上相异的两点，则所有满足： ＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(4,0)，动点P满足 ，则下列关于动点P的结论正确的是A.点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0B.△APB面积的最大值为6C.在x轴上必存在异于A，B的两定点M，N，使得＝
对于选项A，设P(x，y)，
化简得x2＋y2＋8x＝0，故A正确；对于选项B，由选项A可知，点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以点P的轨迹是以(－4,0)为圆心，4为半径的圆，
又|AB|＝6，且点A，B在直径所在直线上，故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时，△APB的面积取得最大值，因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△APB的高的最大值为4，
又点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0，
故存在异于A，B的两定点M(－6,0)，N(－12,0)，
所以2|PA|＋|PQ|＝|PB|＋|PQ|，又点P在圆x2＋y2＋8x＝0上，如图所示，所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|＋|PQ|取得最小值，此时(2|PA|＋|PQ|)min＝|BQ|
对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹.
对于A选项，设C(x，y).
所以x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，动点C的轨迹为以N(－2,0)为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B选项，因为直线l过定点M(－1,1)，而点M(－1,1)在圆N内，所以直线l与圆N相交，故B正确；
对于C选项，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r＋|NM|＝2＋ ，故C错误；对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，
因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
在椭圆 ＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.性质1　PA⊥PB.
性质4　PO平分椭圆的切点弦AB.性质5　延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
　　(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆 ＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(－2,0)，求直线l1，l2的方程；
设直线的方程为y＝k(x＋2)，
可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0，由Δ＝0，可得k2－1＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1＝－1，k2＝1，∴直线l1，l2的方程分别为y＝－x－2，y＝x＋2.
(2)①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；
当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1的斜率不存在，
∴l2的方程为y＝1(或y＝－1)，l1⊥l2成立，
当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2＋n2＝4，设方程为y＝k(x－m)＋n，代入椭圆方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，
由Δ＝0化简整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立.
记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，
②求△AMN面积的取值范围.
蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线 ＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝ (可以看作半径无穷大的圆).
　　　定义椭圆C：　　 ＝1(a>b>0)的“蒙日圆”的方程为x2＋y2＝a2＋b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e＝ .(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
∴c＝1，∴b2＝3，
∴“蒙日圆”E的方程为x2＋y2＝4＋3＝7，即x2＋y2＝7.
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1·k2为定值.
当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y＝kx＋m，
消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，∴m2＝3＋4k2，
消去y得(1＋k2)x2＋2mkx＋m2－7＝0，
∴Δ＝4m2k2－4(1＋k2)(m2－7)＝16＋12k2>0，设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.性质1　阿基米德三角形底边上的中线MQ平行于抛物线的轴.
性质2　若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线.性质3　抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质4　若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C .性质5　底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为 .
性质6　若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2.
　　(多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P.下面关于△PAB的描述正确的是A.点P必在抛物线的准线上B.AP⊥PBC.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为D.PF⊥AB
先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.证明如下：
可得2y0y＝y2＋2px0，
所以抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.如图所示.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋ ，
消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，
即点P在抛物线的准线上，A正确；
所以AP⊥PB，B正确；对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；
所以kAB·kPF＝－1，则PF⊥AB.综上，PF⊥AB，D正确；
(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质；(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.
　　　已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上的点的距离的最小值为4.(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
同理可知，直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0，由于点P为这两条直线的公共点，
∴点A，B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0，∴直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0，
可得x2－2x0x＋4y0＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
由已知可得－5≤y0≤－3，
A.1 　　　B.2 　　　 C.3 　　　 D.4
根据蒙日圆的定义，得a＋2＋a＝6，解得a＝2.
2.(2023·烟台模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为
由题知，弦AB过抛物线焦点，则由“阿基米德三角形”性质知，点P在抛物线的准线上，△PAB的面积的最小值为S＝p2＝4.
3.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2,0)，动点M满足|MA|＝ |MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是
直线l：y＝k(x－1)＋b恒过定点(1，b)，
要使对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点，
4.抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0
设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，
5.(多选)(2023·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB＝90°
C.△PAB的边AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确.
对于A，过Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b，∴Q(a，b)在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，
∴C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3b2，A正确；对于B，由l方程知l过P(b，a)，又P满足蒙日圆方程，
对于C，∵A在椭圆上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a；当F1A⊥l时，d＋|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
对于D，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝12b2，
7.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 .已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为______；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为______.
所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，
所以两切线的交点为P(0，－1)，
8.(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C： ＋y2＝1(a>1)上，动点P在直线3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为__________.
根据题意可得，圆x2＋y2＝a2＋1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线 3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2＝a2＋1相离时，∠APB恒为锐角，
9.(2023·开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，
消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，有x1x2＝－2pb，令抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，
消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，
(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求 的值.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A，B两点.①若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；
设P(x0，y0)，则过P的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
化简得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，
设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
②作PQ⊥AB于点Q，求证：|QF1|＋|QF2|是定值.
当切线PA，PB的斜率都存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线PA，PB的方程为y－yi＝ki(x－xi)，i＝1,2并由①得
由PQ⊥AB得直线PQ方程为
当切线PA，PB的斜率有一个不存在时，如PB斜率不存在，则B(2,0)，P(2,1)，A(0,1)，直线AB的方程为y＝ x＋1，
若B(－2,0)，同理可得.