专题六　微重点10　离心率的范围问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题六　微重点10　离心率的范围问题--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，专题强化练，∵6c12，在△F1PF2中，当点P为短轴端点时等内容，欢迎下载使用。

圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
利用几何图形的性质求离心率的范围
　　(1)(2023·三亚模拟)已知F是椭圆　　　＝1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是
设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B，由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1 为平行四边形，且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°，在△AFF1中，
＝(|AF|＋|AF1|)2－3|AF|·|AF1|，∴(|AF|＋|AF1|)2－|FF1|2＝3|AF|·|AF1|
当且仅当|AF|＝|AF1|时等号成立，
又∵椭圆的离心率e∈(0,1)，
(2)(2023·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限，∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|>|PF2|，|PF2|＋|F1F2|>|PF1|，即r1＝24，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，∴2c<24,4c>24，解得6在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a1，
∴3e1e2的取值范围为(1，＋∞).
此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
　　　(2023·亳州模拟)已知双曲线C：　　 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________.
双曲线C与直线y＝x有交点，
双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在双曲线右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性得|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，
所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，所以|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，由|QF1|>|OF1|得2a>c，
又在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°，∠PF1F2<45°，
　　(1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋ ＝1(0设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b，所以c2≥b2＝a2－c2，
∴P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
　　　设M是椭圆C： ＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是
设P(x0，y0)，M(0，b)，
由题意知，当y0＝－b时，|PM|2取得最大值，
　　(1)(2023·榆林模拟)已知双曲线C：　 ＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cs∠PAQ≥－　，则该双曲线离心率的取值范围是
以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，
解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a,0)，
设双曲线上的点P(x0，y0)，
所以|OP|2≥a2，
利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.
1.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是
由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，
由双曲线定义得||AF1|－|AF2||＝2a，∵|AF1|＝2|AF2|，∴|AF2|＝2a，|AF1|＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理得
则|PB|2＝x2＋(y－b)2
依题意得|PB|2≥b2恒成立，
化简整理得c4－3a2c2＋a4≤0，即e4－3e2＋1≤0，又e>1，
如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，
所以四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c，设|AF′|＝n，|AF|＝m，在Rt△ABF中，|BF|＝n，m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得mn＝2b2，
结合c2＝a2－b2，
如图，过点F2作渐近线的垂线，垂足为E，连接MF2，
由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF1|＝|MF2|＋2a，所以|MD|＋|MF1|＝|MD|＋|MF2|＋2a≥|EF2|＋2a＝b＋2a，即|MD|＋|MF1|的最小值为2a＋b，因为|MD|>|F1F2|－|MF1|恒成立，所以|MD|＋|MF1|>|F1F2|恒成立，即2a＋b>2c恒成立，
所以b>2c－2a，即b2>4c2＋4a2－8ac，即c2－a2>4c2＋4a2－8ac，所以3c2＋5a2－8ac<0，
∴2c2＝|PO|2－c2，
即a2－c2≤3c2≤a2，
∴△PF1F2为等边三角形，故C错误；
又 ＝|OP||OF2|sin∠POF2，∴ ＝|OP||OF2|sin∠POF2
∴|PF2|2＝|OP|2＋|OF2|2－2|OP||OF2|·cs∠POF2＝2c2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∠F1MF2＝θ，不妨设点M是C1，C2在第一象限内的交点，则m>n，m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2，在△F1MF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cs θ，即4c2＝m2＋n2－2mncs θ，
一方面，4c2＝m2＋n2－2mncs θ＝(m＋n)2－2mn(1＋cs θ)
此时△F1MF2面积为
另一方面，4c2＝m2＋n2－2mncs θ＝(m－n)2＋2mn(1－cs θ)
所以S＝b1b2，故A正确；对于B，因为m>n且m＋n＝2a1，
由4c2＝m2＋n2－2mncs θ得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＋(a1＋a2)(a1－a2)，
所以(e1e2)2∈(1，＋∞)，e1e2∈(1，＋∞)，故C错误；
设△F1PF2内切圆C与△F1PF2的边F1F2，PF2，PF1分别相切于点M，N，Q，则|CM|＝|CN|＝|CQ|＝r，且|F1M|＝|F1Q|，|F2M|＝|F2N|，|PQ|＝|PN|，所以Rt△CMF2≌Rt△CNF2，
由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，所以|QF1|－|NF2|＝2a，
过点P作PD⊥x轴于点D，设P(xP，yP)，