2024年中考数学必考考点总结题型专训专题11一元二次方程篇（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学必考考点总结题型专训专题11一元二次方程篇（原卷版+解析），共31页。

一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。
一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
微专题
1． (2023•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
2． (2023•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 ．
3． (2023•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
4． (2023•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022B．0C．2022D．4044
5． (2023•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
考点二：一元二次方程之解一元二次方程
知识回顾
直接开方法解一元二次方程：
适用形式：或或（均大于等于0）
①时，方程的解为：。
②时，方程的解为：。
③时，方程的解为：。
配方法解一元二次方程：
运用公式：。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：
∴
若，则即可求得两根。
公式法解一元二次方程：
根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。
①方程有两个不相等的实数根。
②方程有两个相等的实数根。
③方程没有实数根。
求根公式：
当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程的两根为。
②时，一元二次方程的两根为。
③时，方程没有实数根。
因式分解法求一元二次方程：
利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解二元一次方程。
微专题
6． (2023•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（ ）
A．9B．﹣3C．6+D．﹣6+
7． (2023•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
8． (2023•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
9． (2023•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
10． (2023•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
11． (2023•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
12． (2023•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
13． (2023•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（ ）
A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6
14． (2023•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
15． (2023•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
16． (2023•云南）方程2x2+1＝3x的解为 ．
17． (2023•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
18． (2023•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m≤C．m≥﹣D．m＞﹣
19． (2023•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
20． (2023•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＞﹣B．k＜﹣C．k＞﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠0
21． (2023•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
22． (2023•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣B．k≤﹣C．k＞﹣D．k≥﹣
23． (2023•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1
24． (2023•大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．9C．6D．﹣9
25． (2023•营口）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜4B．m＞﹣4C．m≤4D．m≥﹣4
26． (2023•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
27． (2023•上海）已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
28． (2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
考点三：一元二次方程之根与系数的关系：
知识回顾
根与系数的基本关系：
若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为：
。
同时存在：。
常考推广公式：
①。
②。
③。
④。
⑤。
⑥。
微专题
29． (2023•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
30． (2023•青海）已知关于x的方程x2+m x+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
31． (2023•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0
32． (2023•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
33． (2023•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（ ）
A．7B．﹣7C．6D．﹣6
34． (2023•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+m n+2m的值为（ ）
A．0B．﹣10C．3D．10
35． (2023•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A．B．C．1D．﹣
36． (2023•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ．
37． (2023•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝ ．
38． (2023•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
39． (2023•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 ．
40． (2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
41． (2023•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 ．
考点四：一元二次方程之实际应用：
知识回顾
列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。
⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
一元二次方程实际应用的基本类型：
①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。
②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
⑤商品销售问题：基本等量关系：
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑥图形面积问题：
利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
微专题
42． (2023•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
43． (2023•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50
44． (2023•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96D．150（1﹣2x）＝96
45． (2023•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
46． (2023•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
47． (2023•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
48． (2023•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．625（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400D．400x2＝625
49． (2023•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
50． (2023•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5%B．10%C．20%D．21%
51． (2023•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8B．10C．7D．9
52． (2023•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
53． (2023•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．
专题11 一元二次方程
考点一：一元二次方程之相关概念
知识回顾

一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。
一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
微专题
1． (2023•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，计算即可得出答案．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
2． (2023•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 ．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
3． (2023•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
4． (2023•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022B．0C．2022D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
5． (2023•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
考点二：一元二次方程之解一元二次方程
知识回顾
直接开方法解一元二次方程：
适用形式：或或（均大于等于0）
①时，方程的解为：。
②时，方程的解为：。
③时，方程的解为：。
配方法解一元二次方程：
运用公式：。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：
∴
若，则即可求得两根。
公式法解一元二次方程：
根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。
①方程有两个不相等的实数根。
②方程有两个相等的实数根。
③方程没有实数根。
求根公式：
当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程的两根为。
②时，一元二次方程的两根为。
③时，方程没有实数根。
因式分解法求一元二次方程：
利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解二元一次方程。
微专题
6． (2023•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（ ）
A．9B．﹣3C．6+D．﹣6+
【分析】先利用直接开平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后计算代数式2a+b的值．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
所以x1＝2+，x2＝2﹣，
即a＝2+，b＝2﹣，
所以2a+b＝4+2+2﹣＝6+．
故选：C．
7． (2023•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
8． (2023•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
9． (2023•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：C．
10． (2023•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
11． (2023•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝＝＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，
故选：D．
12． (2023•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4
C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣4
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
x﹣6＝0或x+4＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣4，
故选：B．
13． (2023•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（ ）
A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1，
①x1＝3，x2＝﹣1时，＝3，
②x1＝﹣1，x2＝3时，＝﹣9，
故选：A．
14． (2023•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
15． (2023•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x1＝2，x2＝﹣7，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．
16． (2023•云南）方程2x2+1＝3x的解为 ．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：2x2+1＝3x，
2x2﹣3x+1＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
故答案为：x1＝1，x2＝．
17． (2023•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
18． (2023•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m≤C．m≥﹣D．m＞﹣
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝1+4m≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，
解得m≥﹣，
故选：C．
19． (2023•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
20． (2023•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＞﹣B．k＜﹣C．k＞﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠0
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．
【解答】解：根定义新运算，得x2﹣x＝k，
即x2﹣x﹣k＝0，
∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，
解得：，
故选：A．
21． (2023•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，
整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，
∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
22． (2023•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣B．k≤﹣C．k＞﹣D．k≥﹣
【分析】利用Δ的符号求出k的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k＜﹣．
故选A．
23． (2023•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
24． (2023•大连）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．9C．6D．﹣9
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：B．
25． (2023•营口）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＜4B．m＞﹣4C．m≤4D．m≥﹣4
【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，再求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，
解得：m≥﹣4，
故选：D．
26． (2023•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范围是k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
27． (2023•上海）已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【分析】由根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故答案为：m＜3．
28． (2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×m＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×m＞0，
解得m＜1，
所以实数m的取值范围是m＜1．
故答案为：m＜1．
考点三：一元二次方程之根与系数的关系：
知识回顾
根与系数的基本关系：
若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为：
。
同时存在：。
常考推广公式：
①。
②。
③。
④。
⑤。
⑥。
微专题
29． (2023•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
30． (2023•青海）已知关于x的方程x2+m x+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，
所以1+m+3＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
31． (2023•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
32． (2023•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
33． (2023•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（ ）
A．7B．﹣7C．6D．﹣6
【分析】根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a，
∵x1＝﹣1，
∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a，
∴a＝3，
∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32
＝3﹣1﹣9
＝﹣7．
故选：B．
34． (2023•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+m n+2m的值为（ ）
A．0B．﹣10C．3D．10
【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，mn＝﹣5，而m是方程的一个根，可得m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，那么m2+mn+2m＝m2+2m+mn，再把m2+2m、mn的值整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：A．
35． (2023•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（ ）
A．B．C．1D．﹣
【分析】直接把x＝1代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解：∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，
∵两根的积为，
∴两根的积为﹣，
故选：D．
36． (2023•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为 ．
【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，
∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，
∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，
∴k＝﹣4，
故答案是：﹣4．
37． (2023•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝ ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，再由x12+x22＝变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝，即可得到4m2﹣m＝，然后解此方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，
∵x12+x22＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝，
∴4m2﹣m＝，
∴m1＝﹣，m2＝，
∵Δ＝16m2﹣8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m＝不合题意，
故答案为：﹣．
38． (2023•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
39． (2023•绥化）设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
40． (2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
41． (2023•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 ．
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴x1•x2＝3，
故答案为：3．
考点四：一元二次方程之实际应用：
知识回顾
列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。
⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
一元二次方程实际应用的基本类型：
①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。
②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
⑤商品销售问题：基本等量关系：
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑥图形面积问题：
利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
微专题
42． (2023•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
43． (2023•河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50
【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30（1+x）万个，三月份的口罩产量是30（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1+x）2＝50．
故选：A．
44． (2023•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96D．150（1﹣2x）＝96
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝96，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．
故选：C．
45． (2023•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8（1+x）万元，
第三个月的销售额为8（1+x）2万元，
∴8（1+x）2＝11.52，
故选：C．
46． (2023•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
47． (2023•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
48． (2023•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．625（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400D．400x2＝625
【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意得：400（1+x）2＝625，
故选：B．
49． (2023•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
50． (2023•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5%B．10%C．20%D．21%
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
3000（1+x）2＝3630，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为10%．
故答案为：B．
51． (2023•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8B．10C．7D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
52． (2023•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
53． (2023•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．