2024年中考数学必考考点总结题型专训专题19三角形与全等三角形篇（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学必考考点总结题型专训专题19三角形与全等三角形篇（原卷版+解析），共31页。

三角形的定义：
三条线段首尾顺次连接组成的图形。
三角形的分类：
①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。
三角形的中线、高线、角平分线：
①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。平分三角形的面积。
②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。得到两个直角三角形。
③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。
三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
微专题
1． (2023•大庆）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
2． (2023•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cmB．0.7cmC．1.5cmD．2cm
3． (2023•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
4． (2023•广东）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形
5． (2023•永州）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 ．
7． (2023•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
8． (2023•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9． (2023•南通）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
10． (2023•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11． (2023•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
12． (2023•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5B．4C．7D．8
13． (2023•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
14． (2023•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
15． (2023•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．1kmB．2kmC．3kmD．8km
考点二：三角形之与三角形有关的角
知识回顾
三角形的内角和定理：
三角形的三个内角之和等于180°。
三角形的外角定理：
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。大于它不相邻的任意一个内角。
微专题
16． (2023•东营）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为 ．
(2023•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
考点三：全等三角形之性质与判定
知识回顾
全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中重合的点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。用“≌”符号表示。
注意：在书写全等三角形时，对应点写在对应的位置。
全等三角形的性质：
若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
全等三角形的判定：
①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
微专题
18． (2023•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
第18题 第19题
A．OD＝OEB．OE＝OFC．∠ODE＝∠OEDD．∠ODE＝∠OFE
19． (2023•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
20． (2023•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
第20题 第21题 第22题
A．BC＝DEB．AE＝DBC．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
(2023•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是
.（只写一个）
22． (2023•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
23． (2023•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC．
第23题 第24题
24． (2023•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
25． (2023•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
第25题 第26题
A．∠ADC＝90°B．DE＝DFC．AD＝BCD．BD＝CD
26． (2023•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
27． (2023•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 ．
考点四：角的平分线与线段的垂直平分线：
知识回顾
角平分线的定义：
角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
角平分线的性质：
①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
角平分线的判定：
角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
角平分线的尺规作图：
具体步骤：
①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
线段的垂直平分线的定义：
过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质：
①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
垂直平分线的吃规作图：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
微专题
28． (2023•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
第28题 第29题
A．2B．2C．4D．4+2
29． (2023•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
30． (2023•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
第30题 第31题
31． (2023•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
32． (2023•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
33． (2023•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
第33题 第34题
34． (2023•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
专题19 三角形与全等三角形
考点一：三角形之与三角形有关的线段
知识回顾
三角形的定义：
三条线段首尾顺次连接组成的图形。
三角形的分类：
①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。
三角形的中线、高线、角平分线：
①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。平分三角形的面积。
②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。得到两个直角三角形。
③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。
三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
微专题
1． (2023•大庆）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据直角三角形概念可判断A，C，由等腰三角形，等边三角形定义可判断B，D．
【解答】解：∵有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，
∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；
有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；
有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；
底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；
故选：A．
2． (2023•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A．0.5cmB．0.7cmC．1.5cmD．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
3． (2023•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
4． (2023•广东）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：A．
5． (2023•永州）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，
故选：D．
6． (2023•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 ．
【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝2S△AEC，
∵△AEC的面积是1，
∴S△ACD＝2S△AEC＝2，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝2．
故答案为：2．
7． (2023•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
8． (2023•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．
【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．
观察选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
9． (2023•南通）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
10． (2023•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．
【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，．
解得＜a＜3．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
11． (2023•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．
【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，
∴6﹣4＜a＜6+4，
∴2＜a＜10，
∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：B．
12． (2023•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5B．4C．7D．8
【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．
【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．
不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
13． (2023•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
14． (2023•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，
∴第三边的长度可能是：6cm．
故选：C．
15． (2023•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．1kmB．2kmC．3kmD．8km
【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．
【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，
当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，
设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，
根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，
故选：A．
考点二：三角形之与三角形有关的角
知识回顾
三角形的内角和定理：
三角形的三个内角之和等于180°。
三角形的外角定理：
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。大于它不相邻的任意一个内角。
微专题
16． (2023•东营）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为 ．
【分析】先根据平行线的性质得到∠OCA＝∠BOC＝40°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOC的度数．
【解答】解：∵AC∥半径OB，
∴∠OCA＝∠BOC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
17． (2023•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
考点三：全等三角形之性质与判定
知识回顾
全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中重合的点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。用“≌”符号表示。
注意：在书写全等三角形时，对应点写在对应的位置。
全等三角形的性质：
若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
全等三角形的判定：
①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
微专题
18． (2023•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OEB．OE＝OFC．∠ODE＝∠OEDD．∠ODE＝∠OFE
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
19． (2023•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
20． (2023•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DEB．AE＝DBC．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
(2023•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是
.（只写一个）
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
22． (2023•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
23． (2023•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC．
【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
24． (2023•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
25． (2023•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝90°B．DE＝DFC．AD＝BCD．BD＝CD
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
故选：C．
26． (2023•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．
方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．
【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
又∵OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
故答案为：15．
27． (2023•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 ．
【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，
∵BD＝BC＝3，AC＝BC，
∴BD＝AC，AD＝3﹣3．
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵BD＝BC，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，
∴∠CDE＝∠B＝45°．
∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．
∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，
∴∠ACD＝∠EDB．
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS）．
∴BE＝AD＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
考点四：角的平分线与线段的垂直平分线：
知识回顾
角平分线的定义：
角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
角平分线的性质：
①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
角平分线的判定：
角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
角平分线的尺规作图：
具体步骤：
①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
线段的垂直平分线的定义：
过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质：
①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
垂直平分线的吃规作图：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
微专题
28． (2023•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
29． (2023•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案为：1．
30． (2023•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD+×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
31． (2023•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
【解答】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
32． (2023•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．
【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
33． (2023•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．
【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
∴BD＝CD，
∵AB＝3.7，AC＝2.3，
∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，
故答案为：6．
34． (2023•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．