微专题4　平面向量的基本运算和应用-2024年高考数学二轮微专题系列

这是一份微专题4　平面向量的基本运算和应用-2024年高考数学二轮微专题系列，共21页。试卷主要包含了))，设向量a＝，b＝, 则，已知向量a＝，b＝，c＝等内容，欢迎下载使用。


1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2nD.2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \(CA,\s\up6(→))＋3(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))
＝－2eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
2.(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A.－2 B.－1
C.1D.2
答案 C
解析 由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，
又|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，所以a·b＝1，故选C.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A.－6 B.－5
C.5D.6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝( 3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
即eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(b·c,|b||c|)，
即eq \f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案 eq \f(8,5)
解析 法一(定义法) 因为a∥b，
所以存在实数k，使a＝kb，
即(2，5)＝k(λ，4)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kλ＝2，,4k＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(8,5)，,k＝\f(5,4).))
法二(结论法) 因为a∥b，
所以2×4－5λ＝0，
解得λ＝eq \f(8,5).
热点一 平面向量的线性运算
1.平面向量加减求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
(2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝________.
答案 (1)A (2)3
解析 (1)作出示意图如图所示.
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)如图，设F为BC中点，
则eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,λ)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,μ)eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3λ)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3μ)eq \(AE,\s\up6(→))，
又G，D，E三点共线，
∴eq \f(1,3λ)＋eq \f(1,3μ)＝1，即eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3.
易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.
训练1 (1)(2022·广州模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，M为AD的中点，eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ等于( )
A.eq \f(9,8)B.eq \f(5,8)
C.eq \f(5,4)D.eq \f(3,2)
(2)在△ABC中，AB＝5，AC＝2eq \r(5)，BC边上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心，且eq \(AH,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，则eq \f(x,y)＝________.
答案 (1)A (2)eq \f(2,3)
解析 (1)如图，连接BD，
因为M为AD的中点，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(BA,\s\up6(→))))＝eq \f(5,8)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以λ＋μ＝eq \f(5,8)＋eq \f(1,2)＝eq \f(9,8).
(2)因为AB＝5，AC＝2eq \r(5)，AD＝4，AD⊥BC于D，
由勾股定理得BD＝3，CD＝2，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(AC,\s\up6(→))，
又因为点H为△ABC的垂心，AD为三角形的高，
所以点H在AD上，
则存在实数λ，使得eq \(AH,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)λeq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
则x＝eq \f(2,5)λ，y＝eq \f(3,5)λ，所以eq \f(x,y)＝eq \f(2,3).
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.
例2 (1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A.0 B.2eq \r(5)
C.eq \r(5)D.20
(2)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs 〈a，a＋b〉＝( )
A.－eq \f(31,35)B.－eq \f(19,35)
C.eq \f(17,35)D.eq \f(19,35)
(3)已知正三角形的边长为2，P是边AB上一点，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则eq \(CP,\s\up6(→))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝( )
A.1B.2
C.4D.6
答案 (1)B (2)D (3)D
解析 (1)|2a－b|＝eq \r(（2a－b）2)＝eq \r(4a2－4a·b＋b2)＝eq \r(4×4－0＋4)＝2eq \r(5).故选B.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cs〈a，a＋b〉＝eq \f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,|a||a＋b|)＝eq \f(25－6,5×7)＝eq \f(19,35).故选D.
(3)法一(基底法) 由题意可得，P是边AB上靠近点A的三等分点，
故eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→)).
显然eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝2.
因此，eq \(CP,\s\up6(→))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝6，故选D.
法二(坐标法) 以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，eq \r(3))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，
则eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\r(3)))，eq \(CA,\s\up6(→))＝(－1，－eq \r(3))，eq \(CB,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3)).
因此，eq \(CP,\s\up6(→))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\r(3)))·(0，－2eq \r(3))＝6，故选D.
易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，而且不能反向共线.
训练2 (1)(2022·长沙模拟)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(12,25)B.eq \f(24,25)
C.eq \f(12,5)D.eq \f(4,5)
(2)(2022·兰州模拟)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，若(a＋3b)⊥(2a＋λb)，则实数λ＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，
设E(x，y)，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(x，y)，
eq \(BD,\s\up6(→))＝(2，1)，
∵eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，且eq \(BE,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(1,5)，))
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,5)))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(4,5)))，
eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(1,5)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)×eq \f(8,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))＝eq \f(4,5).
(2)因为向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，且(a＋3b)⊥(2a＋λb)，
所以(a＋3b)·(2a＋λb)＝0，
即2a2＋(6＋λ)a·b＋3λb2＝8＋(6＋λ)×2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋3λ＝0，
解得λ＝－1.
热点三 平面向量的综合应用
三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.
例3 已知ω＞0，a＝(eq \r(3)sin ωx，－cs ωx)，b＝(cs ωx，cs ωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－eq \f(1,2)的两个零点，且|x1－x2|min＝π.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(1,10)，求sin 2α的值.
解 (1)f(x)＝eq \r(3)sin ωxcs ωx－cs2ωx
＝eq \f(\r(3),2)sin 2ωx－eq \f(1＋cs 2ωx,2)
＝eq \f(\r(3),2)sin 2ωx－eq \f(1,2)cs 2ωx－eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,6)))－eq \f(1,2).
∵x1，x2是函数y＝f(x)－eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,6)))－1的两个零点，
即x1，x2是方程sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,6)))＝1的两个实根，
且|x1－x2|min＝π，
∴T＝eq \f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,2).
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))(k∈Z).
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝eq \f(1,10)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(3,5).
∵0＜α＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,6)＜α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(4,5).
∵sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(4＋3\r(3),10)，
cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(4\r(3)－3,10)，
∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(4＋3\r(3),10)×eq \f(4\r(3)－3,10)＝eq \f(24＋7\r(3),50).
规律方法 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
训练3 △ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，eq \r(3)b)与n＝(cs A，sin B)平行.
(1)求A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)因为m∥n，所以asin B－eq \r(3)bcs A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－eq \r(3)sin Bcs A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝eq \r(3)，
由于0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,3).
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
而a＝eq \r(7)，b＝2，A＝eq \f(π,3)，得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(3\r(3),2).
法二 由正弦定理，得eq \f(\r(7),sin \f(π,3))＝eq \f(2,sin B)，
从而sin B＝eq \f(\r(21),7)，
又由a＞b，知A＞B，
所以cs B＝eq \f(2\r(7),7)，
故sin C＝sin(A＋B)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))
＝sin Bcs eq \f(π,3)＋cs Bsin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(21),14).
所以△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(3),2).
一、基本技能练
1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A.4B.3
C.2D.0
答案 B
解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为( )
A.eq \f(1,2)aB.a
C.bD.eq \f(1,2)b
答案 A
解析 ∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×eq \f(1,2)＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为eq \f(1,2)a.
3.设四边形ABCD为平行四边形，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝4，若点M，N满足eq \(BM,\s\up6(→))＝3eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(DN,\s\up6(→))＝2eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝( )
A.20B.15
C.9D.6
答案 C
解析 eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \(CM,\s\up6(→))－eq \(CN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(3,16)eq \(AD,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,3)×36－eq \f(3,16)×16＝9，选C.
4.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n等于( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 C
解析 如图，连接AO，由O为BC的中点可得，
eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up6(→))，
∵M，O，N三点共线，
∴eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1.
∴m＋n＝2.
5.(多选)(2022·广州模拟)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2), 则( )
A.|a|＝|b|B.(a－b)∥b
C.(a－b)⊥aD.a与b的夹角为eq \f(π,4)
答案 CD
解析 ∵a＝(－1，1)，b＝(0，2)，
a－b＝(－1，－1)，
对于A，|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，
∴|a|≠|b|，故A错误；
对于B，－1×2－(－1)×0≠0，
∴a－b与b不平行，故B错误；
对于C，(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，
∴(a－b)⊥a，故C正确；
对于D，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
又a与b的夹角范围是[0，π]，
∴a与b的夹角为eq \f(π,4)，故D正确.
6.(2022·九江模拟)我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(BA,\s\up6(→))＝b，eq \(BE,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(12,25)a＋eq \f(9,25)bB.eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b
C.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)bD.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b
答案 B
解析 eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(BF,\s\up6(→))＋\(BA,\s\up6(→))))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(9,16)eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up6(→))，
解得eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(12,25)eq \(BA,\s\up6(→))，
即eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b，故选B.
7.(2022·全国乙卷改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝________.
答案 5
解析 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq \r(42＋（－3）2)＝5.
8.(2022·泰安模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2).若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.
答案 1
解析 已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)，
所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，
因为向量a与向量kb＋c共线，
所以k＋2＝3×(－2k＋3)，解得k＝1.
9.已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________.
答案 eq \f(2,3)π
解析 设a与b的夹角为θ，
由(a＋b)⊥a，
得(a＋b)·a＝0，
即a·b＝－a2，
又cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－a2,|a|·2|a|)＝eq \f(－a2,2a2)
＝－eq \f(1,2)，且0≤θ≤π，
则θ＝eq \f(2,3)π.
10.在同一平面中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→)).若eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 由题意得，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，
故eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以m＝eq \f(1,3)，n＝eq \f(1,3)，
故m＋n＝eq \f(2,3).
11.已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(－eq \r(6)，eq \r(2))，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)由题意，得－eq \r(6)cs x＋eq \r(2)sin x＝0，
所以tan x＝eq \r(3)，
又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(π,3).
(2)f(x)＝a·b＝－eq \r(6)cs x＋eq \r(2)sin x
＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
因为x∈[0，π]，所以x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1))，
所以f(x)∈[－eq \r(6)，2eq \r(2)]，
即f(x)的最大值为2eq \r(2)，此时x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,6)；
f(x)的最小值为－eq \r(6)，此时x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，则x＝0.
12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2eq \r(2)，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→)).
(1)若∠ABD＝eq \f(π,4)，求BC的长；
(2)若AC＝3，求cs∠BAD.
解 (1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2eq \r(2)，∠ABD＝eq \f(π,4)，
由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin∠ABD)，
所以sin∠ADB＝eq \f(4×sin\f(π,4),2\r(2))＝1，
因为0<∠ADB<π，
所以∠ADB＝eq \f(π,2).
所以BD＝2eq \r(2)，
所以DE＝BE＝eq \r(2)，AE＝eq \r(10).
所以cs∠AED＝cs∠BEC＝eq \f(\r(5),5).
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以EC＝eq \f(\r(10),2).
由余弦定理得
BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cs∠BEC＝2＋eq \f(5,2)－2×eq \r(2)×eq \f(\r(10),2)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(5,2)，
所以BC＝eq \f(\r(10),2).
(2)法一 因为AC＝3，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以AE＝2.
设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得
cs∠ADB＝eq \f(（2\r(2)）2＋4x2－42,2×2\r(2)×2x).
在△AED中，由余弦定理得
cs∠ADB＝eq \f(（2\r(2)）2＋x2－22,2×2\r(2)×x)，
所以eq \f(4x2－8,8\r(2)x)＝eq \f(x2＋4,4\r(2)x)，
解得x＝2eq \r(2)，
所以BD＝4eq \r(2).
在△ABD中，由余弦定理得
cs∠BAD＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2×AB×AD)
＝eq \f(16＋8－32,16\r(2))＝－eq \f(\r(2),4).
法二 因为AC＝3，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，
所以|eq \(AE,\s\up6(→))|＝2，
在△ABD中，E为BD的中点，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，
平方得|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
＝4|eq \(AE,\s\up6(→))|2，
即16＋8＋2×4×2eq \r(2)×cs∠BAD＝16，
解得cs∠BAD＝－eq \f(\r(2),4).
二、创新拓展练
13.点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，则△ABC一定是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
答案 B
解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，
且|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，
所以|eq \(CB,\s\up6(→))|－|(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))|＝0，
即|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，
等式两边平方并化简得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，
则△ABC一定是直角三角形.
14.(多选)(2022·武汉质检)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝－1
B.eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
C.|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)
D.eq \(ED,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的长度为eq \f(7,6)
答案 BCD
解析 因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))，△ABC是等边三角形，
所以CE⊥AB，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝0，选项A错误；
以E为坐标原点，eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，eq \r(3))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，
设O(0，y)，y∈(0，eq \r(3))，
则eq \(BO,\s\up6(→))＝(1，y)，eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，y－\f(2\r(3),3)))，
又eq \(BO,\s\up6(→))∥eq \(DO,\s\up6(→))，
所以y－eq \f(2\r(3),3)＝－eq \f(1,3)y，
解得y＝eq \f(\r(3),2)，
即O是CE的中点，eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以选项B正确；
|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝|2eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OE,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2).所以选项C正确；
eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3))，
eq \(ED,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的长度为eq \f(\(ED,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,3)＋2,2)＝eq \f(7,6)，所以选项D正确.
15.在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且MN＝eq \f(3,2)，若eq \(MN,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝________.
答案 －2
解析 因为点M，N分别是AD，BC的中点，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))，
则有eq \(MN,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2).
又因为AB＝2，所以CD＝1，
则由eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))两边平方化简得
5＝|eq \(CD,\s\up6(→))|2－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))，
即eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(|\(CD,\s\up6(→))|2－5,2)＝－2.
16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝eq \f(π,3)，a＋b＝λc(其中λ>1).
(1)若λ＝eq \r(3)，证明：△ABC为直角三角形；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(9,8)λ2，且c＝3，求λ的值.
(1)证明 ∵λ＝eq \r(3)，∴a＋b＝eq \r(3)c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝eq \r(3)sin C，
∵C＝eq \f(π,3)，∴sin B＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \f(3,2)，
即sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＋eq \f(1,2)sin B＝eq \f(3,2)，
∴eq \f(3,2)sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \f(3,2)，
即eq \f(\r(3),2)sin B＋eq \f(1,2)cs B＝eq \f(\r(3),2)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
又B∈(0，π)，从而B＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)或B＋eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)，
解得B＝eq \f(π,6)或B＝eq \f(π,2).
若B＝eq \f(π,6)，则A＝eq \f(π,2)，△ABC为直角三角形；
若B＝eq \f(π,2)，△ABC也为直角三角形.
所以△ABC为直角三角形.
(2)解 若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(9,8)λ2，
即|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs C＝eq \f(9,8)λ2，又C＝eq \f(π,3)，
则eq \f(1,2)ab＝eq \f(9,8)λ2，
∴ab＝eq \f(9,4)λ2.
由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcs C，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，
即(a＋b)2－3ab＝9，
又a＋b＝3λ，故9λ2－eq \f(27,4)λ2＝9，
解得λ2＝4，
又λ>1，∴λ＝2.