微专题6　极化恒等式、投影向量-2024年高考数学二轮微专题系列

这是一份微专题6　极化恒等式、投影向量-2024年高考数学二轮微专题系列，共17页。

极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4).
(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：
①eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|eq \(PQ,\s\up6(→))|2－|eq \(NM,\s\up6(→))|2](平行四边形模式)；
②eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式).
类型一 投影向量的应用
由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.
例1 已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是________；向量e在向量a上的投影向量是________.
答案 －2e －eq \f(1,8)a
解析 由|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，
向量a在向量e上的投影数量：|a|cseq \f(2,3)π＝－2，
向量e在向量a上的投影数量：|e|cseq \f(2,3)π＝－eq \f(1,2)，
故向量a在向量e上的投影向量：－2e，
向量e在向量a上的投影向量：－eq \f(1,2)×eq \f(a,|a|)＝－eq \f(1,8)a.
训练1 (1)已知向量a与b的夹角为eq \f(3,4)π，且|a|＝2，|b|＝3，则a在b方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( )
A.eq \f(\r(2),3)b，eq \r(2)B.eq \f(\r(2),3)b，－eq \r(2)
C.－eq \f(\r(2),3)b，eq \r(2) D.－eq \f(\r(2),3)b，－eq \r(2)
(2)已知向量a＝(1，2)，A(6，4)，B(4，3)，b为向量eq \(AB,\s\up6(→))在向量a上的投影向量，则|b|＝________.
答案 (1)D (2)eq \f(4\r(5),5)
解析 (1)设a在b方向上的投影向量为λb(λ∈R)，
则a·b＝λb·b，
故λ＝eq \f(a·b,b2)＝eq \f(|a|cs\f(3,4)π,|b|)＝－eq \f(\r(2),3).
故a在b方向上的投影向量为－eq \f(\r(2),3)b，
a在b方向上的投影向量的长度为|a| cseq \f(3,4)π＝－eq \r(2).
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，
由投影公式可知|b|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·a|,|a|)＝eq \f(|－2×1＋（－1）×2|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5).
类型二 利用极化恒等式求向量的数量积
利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤：
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
例2 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值为________.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝________.
答案 (1)eq \f(7,8) (2)eq \f(3,2)
解析 (1)设BD＝DC＝m，
AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1，
联立解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8).
因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8).
即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8).
(2)连接EG，FH交于点O(图略)，
则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，
eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，
因此eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2).
训练2 (1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
(2)如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，若F为DE的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))的值为________.
答案 (1)－16 (2)4
解析 (1)因为M是BC的中点，
由极化恒等式得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AM,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝9－eq \f(1,4)×100＝－16.
(2)取
BD的中点N，连接NF，EB，因AB＝4，AE＝2，∠BAC＝60°，故BE⊥AE，所以BE＝2eq \r(3).
在△DEB中，FN綊eq \f(1,2)BE，
所以FN＝eq \r(3)，
故eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FD,\s\up6(→))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(FN,\s\up6(→))2－\f(1,4)\(DB,\s\up6(→))2))＝2(3－1)＝4.
类型三 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)
(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.
例3 (1)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，C分别在m，n上，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最大值是________.
(2)(2022·济南调研)在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2的最小值为________.
答案 (1)eq \f(21,4) (2)2eq \r(3)
解析 (1)法一(极化恒等式法)
连接BC，取BC的中点D，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2，
又AD＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(5,2)，
故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(25,4)－eq \(BD,\s\up6(→))2＝eq \f(25,4)－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2，
又因为BCmin＝3－1＝2，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)))max＝eq \f(21,4).
法二(坐标法)
以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，如图，则A(0，3)，C(c，0)，B(b，2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(b，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(c，－3)
从而(b＋c)2＋(－4)2＝52，
即(b＋c)2＝9，
又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝bc＋3≤eq \f(（b＋c）2,4)＋3＝eq \f(21,4)，
当且仅当b＝c时，等号成立.
(2)取BC中点O，
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2⇒eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \(PO,\s\up6(→))2＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))2≥2eq \r(\(PO,\s\up6(→))2·\f(3,4)\(BC,\s\up6(→))2)
＝eq \r(3)|eq \(PO,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|，
当且仅当PO＝eq \f(\r(3),2)BC时等号成立.
∵PO≥eq \f(1,2)h，
∴eq \r(3)|eq \(PO,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \f(\r(3),2)h|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)S△ABC＝2eq \r(3)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))2的最小值为2eq \r(3).
训练3 (1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是________.
(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是________.
答案 (1)[0，2] (2)2
解析 (1)由正方体的棱长为2，
得内切球的半径为1，
正方体的体对角线长为2eq \r(3).
当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.
设内切球的球心为O，
则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2＝|eq \(PO,\s\up6(→))2|－1.
由于P为正方体表面上的动点，
故|OP|∈[1，eq \r(3)]，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[0，2].
(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)＝|eq \(OM,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4).
因为OM≤ON＋NM＝eq \f(1,2)AD＋AB＝eq \f(3,2)，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为2.
一、基本技能练
1.设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b等于( )
A.1B.2
C.3D.4
答案 A
解析 由极化恒等式得a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq \f(1,4)×(10－6)＝1.
2.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝－7，则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝( )
A.－9B.21
C.－21D.9
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝|eq \(AO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝－7，
∴eq \f(1,4)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝16，
eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝|eq \(CO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝25－16＝9.
3.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FO,\s\up6(→))，则eq \(FD,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(3,4)B.－eq \f(8,9)
C.－eq \f(1,4)D.－eq \f(4,9)
答案 B
解析 ∵eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FO,\s\up6(→))，圆O的半径为1，
∴|eq \(FO,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3).
法一 eq \(FD,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＝(eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))·(eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)))＝eq \(FO,\s\up6(→))2＋eq \(FO,\s\up6(→))·(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＋eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＋0－1＝－eq \f(8,9).
法二 由极化恒等式得
eq \(FD,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(FO,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(DE,\s\up6(→))2＝eq \f(1,9)－1＝－eq \f(8,9).
4.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值是( )
A.eq \f(9,2)B.2
C.eq \f(3,2)D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 如图所示，取CD的中点E，
连接PE，由极化恒等式可得eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))2－eq \(EC,\s\up6(→))2＝|eq \(PE,\s\up6(→))|2－eq \f(1,2)，
所以当P与A(B)重合时，|eq \(PE,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(5,2))最大，从而(eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))max＝2.
5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A.1B.2
C.eq \r(2)D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 由极化恒等式(a－c)·(b－c)
＝eq \f(1,4)[(a＋b－2c)2－(a－b)2]，
∵(a－c)·(b－c)＝0，
所以(a＋b－2c)2＝(a－b)2，
故c2＝(a＋b)·c，
又因为|a|＝|b|＝1，a⊥b，
∴|a＋b|＝eq \r(2)，
于是|c|2≤|a＋b||c|＝eq \r(2)|c|，
∴|c|≤eq \r(2).
6.已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为( )
A.1B.eq \r(2)
C.2D.2eq \r(2)
答案 A
解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))有最小值，
即eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OB,\s\up6(→))2＝(eq \r(2))2－12＝1.
故选A.
7.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为( )
A.－eq \f(1,4)B.－eq \f(1,3)
C.－eq \f(1,2)D.－1
答案 C
解析 ∵eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))，
∴(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，
取OC中点D(图略)，由极化恒等式得，eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝|eq \(PD,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(OC,\s\up6(→))|2＝|eq \(PD,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)，
又|eq \(PD,\s\up6(→))|eq \\al(2,min)＝0，
∴(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为－eq \f(1,2).
8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值为( )
A.－2B.－eq \f(3,2)
C.－eq \f(4,3)D.－1
答案 B
解析 取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.
由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(\r(3),2)，
则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))
＝2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝2(|eq \(PE,\s\up6(→))|2－|eq \(EA,\s\up6(→))|2)
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(|\(PE,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)))≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(3,4)))
＝－eq \f(3,2)，当且仅当|eq \(PE,\s\up6(→))|＝0时，取等号，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值为－eq \f(3,2).
9.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))的值为________.
答案 1
解析 取AE中点O，设AE＝x(0≤x≤1)，则AO＝eq \f(1,2)x，∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝|eq \(DO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|AE|2＝12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)x2＝1.
10.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，A＝120°，动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 16
解析 设AB的中点为M，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PM,\s\up6(→))2－eq \(MA,\s\up6(→))2＝|eq \(PM,\s\up6(→))|2－9，
所以要求eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值，只需求|eq \(PM,\s\up6(→))|的最小值，
显然当点P为线段MC与圆的交点时，|eq \(PM,\s\up6(→))|取得最小值，最小值为|MC|－2.
在△AMC中，由余弦定理得|MC|2＝32＋52－2×3×5×cs 120°＝49，
所以|MC|＝7，
所以|eq \(PM,\s\up6(→))|的最小值为5，
则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为16.
11.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝eq \r(2)，则eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
解析 取MN的中点为P，由极化恒等式得eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))＝|eq \(CP,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|MN|2＝|eq \(CP,\s\up6(→))|2－eq \f(1,2).
当P为AB的中点时，|eq \(CP,\s\up6(→))|取最小值为eq \r(2)，
则eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最小值为eq \f(3,2)；
当M与A(或N与B)重合时，|eq \(CP,\s\up6(→))|取最大值为eq \f(\r(10),2)，则eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的最大值为2，
所以eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(CN,\s\up6(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
12.已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的取值范围是________.
答案 [－9，0]
解析 如图，取CD的中点G，连接OG，MO，CO，得OG⊥CD，
eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝|eq \(MO,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(BA,\s\up6(→))|2＝|eq \(MO,\s\up6(→))|2－16，
∵|eq \(OC,\s\up6(→))|≥|eq \(OM,\s\up6(→))|≥|eq \(OG,\s\up6(→))|，
∴eq \r(7)≤|eq \(OM,\s\up6(→))|≤4，
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))∈[－9，0].
二、创新拓展练
13.若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A.2B.3
C.6D.8
答案 C
解析 如图，由已知OF＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝|eq \(PE,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(OF,\s\up6(→))|2＝|eq \(PE,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)，
∵当P在椭圆右顶点时，|eq \(PE,\s\up6(→))|2有最大值，
|eq \(PE,\s\up6(→))|eq \\al(2,max)＝eq \f(25,4)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为6.
14.(多选)已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝eq \f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，则( )
A.eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2
B.存在点P，使|eq \(PD,\s\up6(→))|<|eq \(P0D,\s\up6(→))|
C.eq \(P0C,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0
D.AC＝BC
答案 AD
解析 如图所示，取BC的中点D，连接PD，
根据向量的极化恒等式，
有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2，eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))＝eq \(P0D,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2.
又eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，
所以|eq \(PD,\s\up6(→))|≥|eq \(P0D,\s\up6(→))|，A正确；B错误；
故由点P为边AB上任意一点知：点D到边AB上点的距离的最小值为|eq \(DP0,\s\up6(→))|，从而DP0⊥AB，
∴eq \(P0C,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))≠0，C错误；
取AB的中点E，则由P0B＝eq \f(1,4)AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确.
15.在半径为1的扇形中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于P，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 －eq \f(1,16)
解析 取OB的中点D，作DE⊥AB于点E，
连接PD，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝|eq \(PD,\s\up6(→))|2－|eq \(OD,\s\up6(→))|2＝|eq \(PD,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)，
易知|eq \(PD,\s\up6(→))|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(|\(DE,\s\up6(→))|，|\(AD,\s\up6(→))|))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2)))，
则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,16)，\f(1,2)))，故所求最小值为－eq \f(1,16).
16.如图，在平面四边形ABCD中，AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∠ABC＝90°，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的最大值为________.
答案 1
解析 取CD的中点E，连接EA，EB，
∵AC＝AD＝2，
∠DAC＝120°，
∴AE⊥CD，DE＝ADsin 60°＝eq \r(3)，
由∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，且AC为直径，
则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BE,\s\up6(→))|2－|eq \(ED,\s\up6(→))|2＝|eq \(BE,\s\up6(→))|2－(eq \r(3))2≤|eq \(AC,\s\up6(→))|2－3＝22－3＝1，
所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的最大值为1.