微专题14　空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)-2024年高考数学二轮微专题系列

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1.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
答案 A
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，
又EF⊂平面ABCD，
所以EF⊥DD1，
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD1＝D，
所以EF⊥平面BDD1，
又EF⊂平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，
则D(0，0，0)，
B1(2，2，2)，
E(2，1，0)，F(1，2，0)，
B(2，2，0)，A1(2，0，2)，
A(2，0，0)，C(0，2，0)，
C1(0，2，2)，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \(EB1,\s\up6(→))＝(0，1，2)，
eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，
eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，
eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(－2，2，0).
设平面B1EF的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(EF,\s\up6(→))＝－x1＋y1＝0，,m·\(EB1,\s\up6(→))＝y1＋2z1＝0，))
可取m＝(2，2，－1)，
同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，
平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)，
平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，
则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；
因为m与n2不平行，
所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；
因为m与n3不平行，
所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，
故D错误.
2.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )
A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
答案 A
解析 法一 连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D.
因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，
所以AB⊥A1D，
又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，
所以A1D⊥平面ABD1，
又BD1⊂平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.
在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，
又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，
所以MN与平面BB1D1D不垂直.
所以选项A正确.故选A.
法二 以点D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略).
设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，
所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，
所以eq \(A1D,\s\up6(→))＝(－2，0，－2)，eq \(D1B,\s\up6(→))＝(2，2，－2)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0，1，0)，
所以eq \(A1D,\s\up6(→))·eq \(D1B,\s\up6(→))＝－4＋0＋4＝0，
所以eq \(A1D,\s\up6(→))⊥eq \(D1B,\s\up6(→))，即A1D⊥D1B.
又由图易知直线A1D与BD1是异面直线，
所以A1D与BD1异面且垂直.
因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以eq \(MN,\s\up6(→))·n＝0，
又MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
设直线MN与平面BDD1B1所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，
所以sin θ＝|cs〈eq \(MN,\s\up6(→))，a〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(MN,\s\up6(→))·a,|\(MN,\s\up6(→))|·|a|)))＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以直线MN与平面BDD1B1不垂直.故选A.
3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为2.
对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角.
在直角三角形OPC中，OC＝eq \r(2)，CP＝1，
故tan ∠POC＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A错误；

图(1) 图(2)
对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN.
由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，
而OQ⊂平面MADT，
故SM⊥OQ，
又SM∩MT＝M，SM，MT⊂平面SNTM，
故OQ⊥平面SNTM，
又MN⊂平面SNTM，
所以OQ⊥MN，
又OQ∩PQ＝Q，OQ，PQ⊂平面OPQ，
所以MN⊥平面OPQ，
又OP⊂平面OPQ，
故MN⊥OP，故B正确；
对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，
由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；

图(3) 图(4)
对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN.
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO(或其补角)为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2)，OQ＝eq \r(AO2＋AQ2)＝eq \r(1＋2)＝eq \r(3)，PO＝eq \r(PK2＋OK2)＝eq \r(4＋1)＝eq \r(5)，QO2