微专题21　圆锥曲线的基本问题-2024年高考数学二轮微专题系列

这是一份微专题21　圆锥曲线的基本问题-2024年高考数学二轮微专题系列，共24页。试卷主要包含了已知F1，F2是椭圆C，设F为抛物线C，椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12
C.9 D.6
答案 C
解析 由椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))eq \s\up12(2)＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.故选C.
2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.3 D.3eq \r(2)
答案 B
解析 法一 由题意可知F(1，0)，
抛物线的准线方程为x＝－1.
设A(eq \f(yeq \\al(2,0),4)，y0)，则由抛物线的定义可知|AF|＝eq \f(yeq \\al(2,0),4)＋1，又|BF|＝3－1＝2，
故由|AF|＝|BF|，可得eq \f(yeq \\al(2,0),4)＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).
不妨取A(1，2)，
故|AB|＝eq \r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2eq \r(2)，
故选B.
法二 由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
又抛物线通径长为4，
所以|AF|＝2为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝eq \r(（－2）2＋22)＝2eq \r(2)，故选B.
3.(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4)(*).
因为点P在椭圆C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，
得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选A.
4.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
答案 －3
解析 法一 依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－eq \f(x2,－m)＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±eq \f(1,\r(－m))＝±eq \f(\r(3),3)，解得m＝－3.
法二 依题意得m<0，令y2－eq \f(x2,－m)＝0，得y＝±eq \f(1,\r(－m))x，则±eq \f(1,\r(－m))＝±eq \f(\r(3),3)，解得m＝－3.
5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________.
答案 13
解析 如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为eq \f(1,2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2为等边三角形，
又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，
所以直线DE的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋c)，
代入椭圆C的方程eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(8c,13)，x1x2＝－eq \f(32c2,13)，
所以|DE|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(\f(4,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8c,13)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(32c2,13))))))＝eq \f(48c,13)＝6，
解得c＝eq \f(13,8)，所以a＝2c＝eq \f(13,4)，
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
例1 (1)已知A，B分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点与虚轴的上端点，F(2，0)是双曲线C的右焦点，直线AB与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为________.
(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))为焦点，直线x－my－2p＝0与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点M(1，1)满足OM⊥AB，则抛物线C的方程为________.
答案 (1)eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1 (2)y2＝2x
解析 (1)由题意得A(a，0)，B(0，b)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
而kAB＝－eq \f(b,a)，
∴－eq \f(b2,a2)＝－1，∴a＝b，
又F(2，0)，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，
∴a2＝b2＝2，
∴双曲线C的标准方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)由已知直线OM的斜率为1，则AB的斜率为－1，所以m＝－1，
又M(1，1)在直线AB上，
∴1＋1－2p＝0，∴p＝1.
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝2x D.y2＝x
(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C的标准方程为________.
答案 (1)B (2)eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1
解析 (1)由抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，
可得3＋eq \f(p,2)＝4，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，故选B.
(2)由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，
可得a＝3，离心率为2，
所以c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27.
所以双曲线C的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1.
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(1)椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))(01).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
考向1 离心率问题
例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
(2)(2022·浙江卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为eq \f(b,4a)的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0答案 (1)A (2)eq \f(3\r(6),4)
解析 (1)可画出如图所示图形.
△MF1F2为等边三角形，F1(－c，0)，F2(c，0)，QF1⊥MF2，∠F1F2Q＝60°，
∵|F1F2|＝2c，∴|QF2|＝c，|QF1|＝eq \r(3)c，
∴|QF1|＋|QF2|＝(eq \r(3)＋1)c＝2a，
∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1，
即e＝eq \r(3)－1.故选A.
(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F(－c，0)且斜率为eq \f(b,4a)的直线方程为y＝eq \f(b,4a)(x＋c)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,4a)（x＋c），,y＝\f(b,a)x))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(c,3)，,y＝\f(bc,3a)，))
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)，\f(bc,3a))).
因为|FB|＝3|FA|，所以eq \(FB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4c,3)，\f(bc,3a)))＝3(x1＋c，y1)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(5c,9)，,y1＝\f(bc,9a)，))
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,9)，\f(bc,9a))).
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,9)，\f(bc,9a)))代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
可得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5c,9)))\s\up12(2),a2)－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,9a)))\s\up12(2),b2)＝1，
结合离心率e＝eq \f(c,a)得e2＝eq \f(81,24)，
又e>1，所以双曲线的离心率为eq \f(3\r(6),4).
考向2 椭圆、双曲线的几何性质
例3 (1)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一点，PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，则双曲线的渐近线方程为( )
A.x±2y＝0 B.2x±y＝0
C.eq \r(3)x±y＝0 D.x±eq \r(3)y＝0
(2)(2022·南通质检)椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,b2)＝1(b2<18且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D在椭圆内，平面四边形ABCD满足∠BAD＝∠BCD＝90°，且S△ABC＝2S△ADC，则该椭圆的短轴长为________.
答案 (1)C (2)6
解析 (1)因为点P在双曲线上，
且PF2⊥x轴，
所以点P的横坐标为c，
代入双曲线的方程可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a)))，
则|PF2|＝eq \f(b2,a)，|F1F2|＝2c，
所以tan∠PF1F2＝eq \f(|PF2|,|F1F2|)＝eq \f(\f(b2,a),2c)＝eq \f(b2,2ac)＝eq \f(3,4)，
整理得2b2＝3ac，
所以4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(4)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)－9＝0，
解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，即eq \r(3)x±y＝0，故选C.
(2)根据题意可得A(0，b)，C(0，－b)，
设B(x1，y1)，D(x2，y2).
连接BD，由∠BAD＝∠BCD＝90°可得，点A，B，C，D均在以BD为直径的圆E(E为BD中点)上，
又原点O为圆E上的弦AC的中点，
所以圆心E在AC的垂直平分线上，即圆心E在x轴上，
所以y1＋y2＝0.
又S△ABC＝2S△ADC，
所以x1＝－2x2，
故圆心E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,4)，0))，
所以圆E的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x1,4)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(9,16)xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
将(0，b)代入圆E的方程，结合eq \f(xeq \\al(2,1),18)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1可得b2＝9，
所以b＝3，短轴长为6.
规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求eq \f(c,a)的值或范围.
2.求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
训练2 (1)双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在y轴上，且△MF1F2为正三角形.若线段MF2的中点恰好在双曲线E的渐近线上，则E的离心率等于( )
A.eq \r(5) B.2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝eq \f(π,6)，则椭圆C的离心率是________.
答案 (1)B (2)eq \r(3)－1
解析 (1)不妨设M在y轴的正半轴上，
设M(0，t)，t>0，
由于△MF1F2为正三角形，所以t＝eq \r(3)c，故M(0，eq \r(3)c)，
则MF2的中点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，
因为N在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，
所以eq \f(\r(3)c,2)＝eq \f(b,a)×eq \f(c,2)，即eq \f(b,a)＝eq \r(3)，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝2，故选B.
(2)因为直线AB过原点，
由椭圆及直线的对称性可得|OA|＝|OB|，
所以|AB|＝2|OA|，
设右焦点F′，连接BF′，AF′，
又因为2|OF|＝|AB|＝2c，
可得四边形AFBF′为矩形，
在Rt△ABF中，|AF|＝2c·cs∠BAF＝2c·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)c，
|BF|＝2c·sin∠BAF＝2c·eq \f(1,2)＝c，
∴|AF′|＝|BF|＝c，
由椭圆定义|AF|＋|AF′|＝eq \r(3)c＋c＝2a，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α).
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p).
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－eq \f(p,2)相切.
例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0，2)，与抛物线C的准线交于点N，eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→))，则p的值等于( )
A.eq \f(1,8) B.2
C.eq \f(1,4) D.4
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A.p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
答案 (1)B (2)ABC
解析 (1)依题意F点的坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
设M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，
∵eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→))，∴eq \f(|FM|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
可得eq \f(|MK|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
则|KN|∶|KM|＝2∶1，
∴kFN＝eq \f(0－2,\f(p,2)－0)＝－eq \f(4,p)，
∴－eq \f(4,p)＝－2，求得p＝2.故选B.
(2)如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为eq \r(3)，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，
∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，
∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，
∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；
∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正确；
∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；
∵|BD|＝2|BF|，
∴|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误.
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )
A.4 B.4eq \r(2)
C.8 D.8eq \r(2)
(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(BF,\s\up6(→))，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，
因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，
PQ是梯形ABDC的中位线，又由抛物线的定义可知|AB|＝2|PQ|＝8，故选C.
(2)由抛物线的方程可得焦点F(1，0)，
渐近线的方程为：x＝－1，
由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(BF,\s\up6(→))，
可得eq \f(|AB|,|BF|)＝eq \r(2)，
如图所示：作BB′垂直于准线于B′，
而eq \f(|BB′|,|AB|)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠ABB′＝45°，
所以直线AB的斜率为1，
所以直线AB的方程为x＝y＋1，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝y＋1，))整理可得：x2－6x＋1＝0，
可得x1＋x2＝6，
所以线段BC的中点到准线的距离为eq \f(x1＋x2,2)＋1＝4，故选B.
一、基本技能练
1.(2022·温州模拟)双曲线y2－2x2＝1的离心率是( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(6),2)
C.eq \r(3) D.eq \r(5)
答案 B
解析 双曲线方程化为eq \f(y2,1)－eq \f(x2,\f(1,2))＝1，
则a2＝1，b2＝eq \f(1,2)，
从而e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),2)，故选B.
2.设经过点F(1，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|＝( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 C
解析 因为抛物线为y2＝4x，所以p＝2，
设A，B两点横坐标为x1，x2，
因为线段AB中点的横坐标为2，
则eq \f(x1＋x2,2)＝2，即x1＋x2＝4，
故|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6，故选C.
3.(2022·烟台一模)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2eq \r(2)，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－eq \f(1,2) B.x＝－1
C.x＝－2 D.x＝－4
答案 B
解析 由抛物线的方程可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
不妨设P在x轴上方，则y2＝2p×8，可得yp＝4eq \r(p)，
则S△OFP＝eq \f(1,2)|OF|·yp＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×4eq \r(p)＝2eq \r(2)，解得p＝2，
所以准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1，故选B.
4.“1A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为k＝3时，eq \f(x2,k－1)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示圆，故充分性不成立.
若eq \f(x2,k－1)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－1>0，,5－k>0，,k－1≠5－k，))
∴1故“15.已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为eq \f(π,3)，则C的离心率为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.2
C.eq \r(3) D.3
答案 A
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，
由题意可得eq \f(a,b)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，
则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(3),3)，故选A.
6.(2022·西安二模)直线y＝kx(k>0)与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一、第三象限分别交于P，Q两点，F2是C的右焦点，有|PF2|∶|QF2|＝1∶eq \r(3)，且PF2⊥QF2，则C的离心率是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(6)
C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(6)＋1
答案 C
解析 由对称性可知四边形PF1QF2为平行四边形，
又由PF2⊥QF2得四边形PF1QF2为矩形，
∴|PQ|＝|F1F2|＝2c，
又|PF2|∶|QF2|＝1∶eq \r(3)，
∴|QF2|－|PF2|＝(eq \r(3)－1)c＝2a，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1，故选C.
7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝eq \f(\r(3),2)，则M的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1 D.eq \f(x2,5)＋y2＝1
答案 B
解析 不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，
∵O为FF1中点，P为AF中点.
∴OP为△AFF1的中位线.
∴|AF1|＝2|OP|＝eq \r(3)，|AF|＝2|PF|＝eq \r(3).
∴|AF1|＋|AF|＝2eq \r(3)＝2a，∴a＝eq \r(3).
∴椭圆M的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，故选B.
8.(2022·重庆诊断)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )
A.1 B.eq \r(2)
C.2 D.2eq \r(2)
答案 D
解析 记△AF1F2的内切圆圆心为C，
△BF1F2的内切圆圆心为D，
边AF1，AF2，F1F2上的切点分别为M，N，E，
易知C，E横坐标相等，|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|－|AF2|＝2a，
即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，得|MF1|－|NF2|＝2a，
即|F1E|－|F2E|＝2a，记C的横坐标为x0，则E(x0，0)，
于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同样圆心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
设直线l的倾斜角为θ，则∠OF2D＝eq \f(θ,2)，∠CF2O＝90°－eq \f(θ,2)，
在△CEF2中，tan∠CF2O＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(θ,2)))＝eq \f(r1,|EF2|)，
在△DEF2中，tan∠OF2D＝taneq \f(θ,2)＝eq \f(r2,|EF2|)，
由r1＝2r2，可得2taneq \f(θ,2)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(θ,2)))＝eq \f(1,tan\f(θ,2))，
解得taneq \f(θ,2)＝eq \f(\r(2),2)，
则直线l的斜率为tan θ＝eq \f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq \f(\r(2),1－\f(1,2))＝2eq \r(2)，故选D.
9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A.C的离心率为eq \f(\r(2),2)B.△PF1F2的周长为5
C.∠F1PF2<90°D.1≤|PF1|≤3
答案 CD
解析 对于A，由椭圆方程知：a＝2，c＝eq \r(4－3)＝1，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，A错误；
对于B，由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，
∴△PF1F2的周长为4＋2＝6，B错误；
对于C，当P为椭圆短轴端点时，
taneq \f(∠F1PF2,2)＝eq \f(c,b)＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan∠F1PF2＝eq \f(2tan\f(∠F1PF2,2),1－tan2\f(∠F1PF2,2))＝eq \f(\f(2\r(3),3),1－\f(1,3))＝eq \r(3)，
∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，
∴∠F1PF2<90°，C正确；
对于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，
|PF1|max＝a＋c＝3，
∴1≤|PF1|≤3，D正确.
故选CD.
10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )
A.准线l的方程是y＝－2
B.以线段MF为直径的圆与y轴相切
C.|ME|＋|MF|的最小值为5
D.|ME|－|MF|的最大值为2
答案 BC
解析 抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为l：x＝－2，故A错误；
设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·eq \f(m＋2,2)，
即N到y轴的距离是|MF|的一半，
则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；
设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，
当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；
由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，
取得最大值|EF|，为eq \r(（3－2）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，故D错误.
故选BC.
11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.
答案 2
解析 y2＝2px准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
则－eq \f(p,2)＝－1，∴p＝2.
12.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________.
答案 x2－eq \f(y2,4)＝1(答案不唯一)
解析 依题意，不妨取b＝2，
由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(5)，,b＝2，,c2＝a2＋b2，))
解得a＝1，b＝2，c＝eq \r(5).
所以满足题设的一个标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
二、创新拓展练
13.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
A.||PA1|－|PA2||＝2a
B.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为eq \r(5)
C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1
D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝eq \f(π,10)
答案 BCD
解析 对于A：在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，
故||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误；
对于B，焦点F2(c，0)，渐近线不妨取
y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
设焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,m－c)×\f(b,a)＝－1，,b×\f(m＋c,2)－a×\f(n,2)＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(a2－b2,c)，,n＝\f(2ab,c)，))
即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2－b2,c)，\f(2ab,c)))，
由题意该对称点在双曲线上，故eq \f(（a2－b2）2,a2c2)－eq \f(（2ab）2,b2c2)＝1，
将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5)，
∴e＝eq \r(5)，故B正确；
对于C：双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
设P(x0，y0)(y0≠0)，则xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝a2，
所以xeq \\al(2,0)－a2＝yeq \\al(2,0)，
故kPA1·kPA2＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)＝eq \f(yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0)－a2)＝1，故C正确；
对于D：双曲线为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，
且∠A1PA2＝3∠PA1A2，
设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，
则∠PA2x＝4θ，
根据C项中的结论kPA1·kPA2＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故θ＋4θ＝eq \f(π,2)，所以θ＝eq \f(π,10)，即∠PA1A2＝eq \f(π,10)，故D正确.故选BCD.
14.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上任意一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，圆I与PF1的切点为M，PI与x轴的交点为N，则以下结论正确的有( )
A.eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))有最大值a2
B.内切圆I面积有最大值eq \f(πb2c2,（a＋c）2)
C.若|PM|＝eq \f(1,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率为 eq \f(1,2)
D.若∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(1,|PN|)
答案 BCD
解析 对A：eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－c2≤b2，故A不正确；
对B：由等面积法，内切圆I的半径r＝eq \f(S△PF1F2,a＋c)≤eq \f(bc,a＋c)，
所以内切圆面积有最大值eq \f(πb2c2,（a＋c）2)，故B正确；
对C：|PM|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，2|PM|＋2c＝4c＝2a，椭圆C的离心率为eq \f(1,2)，故C正确；
对D：若∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，由角平分线性质得则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(1,|PN|)，故D正确.故选BCD.
15.(2022·北京石景山区一模)设点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝m成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为________.
答案 0(答案不唯一)
解析 当m＝0时，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))，
由椭圆方程可知a2＝4，b2＝1，c2＝3，
因为c>b，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点.
使得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0成立的点恰好有4个.
所以实数m的一个取值可以为0.
16.(2022·泰安一模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，设椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值为________.
答案 1＋eq \f(\r(3),2)
解析 由题意，可设椭圆长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，
不妨设P为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a1，,|PF1|－|PF2|＝2a2，))
则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
又∠F1PF2＝eq \f(π,3)，
由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cseq \f(π,3)，
整理得4c2＝aeq \\al(2,1)＋3aeq \\al(2,2)，
即eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))＝4，则eq \f(1,4eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,4eeq \\al(2,2))＝1，
所以eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4eeq \\al(2,1))＋\f(3,4eeq \\al(2,2))))(eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2))＝1＋eq \f(eeq \\al(2,2),4eeq \\al(2,1))＋eq \f(3eeq \\al(2,1),4eeq \\al(2,2))≥1＋2eq \r(\f(eeq \\al(2,2),4eeq \\al(2,1))·\f(3eeq \\al(2,1),4eeq \\al(2,2)))＝1＋eq \f(\r(3),2).
当且仅当eq \f(eeq \\al(2,2),4eeq \\al(2,1))＝eq \f(3eeq \\al(2,1),4eeq \\al(2,2))，即e2＝eq \r(4,3)e1时取等号.