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微专题28 解析几何中优化运算的方法-2024年高考数学二轮微专题系列
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这是一份微专题28 解析几何中优化运算的方法-2024年高考数学二轮微专题系列，共26页。试卷主要包含了焦点三角形的面积，中心弦的性质，中点弦的性质，圆锥曲线的切线方程，与抛物线的焦点弦有关的二级结论等内容，欢迎下载使用。
1.焦点三角形的面积
(1)设P点是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tan eq \f(θ,2).
(2)设P点是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
2.中心弦的性质
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则kPAkPB＝eq \f(b2,a2)＝e2－1.
3.中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝eq \f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝eq \f(b2,a2)＝e2－1.
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝eq \f(p,y0).
4.圆锥曲线的切线方程
设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
5.与抛物线的焦点弦有关的二级结论
过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为eq \f(p,1－cs θ)，eq \f(p,1＋cs θ)；(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；(4)|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ).
类型一 优化运算的基本途径
途径1 回归定义
当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.
例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程.
解 设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故结合抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).
由题设可得x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(12（t－1）,9)，
从而－eq \f(12（t－1）,9)＝eq \f(5,2)，
解得t＝－eq \f(7,8)，所以直线l的方程为
y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
途径2 设而不求
在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算.
例2 已知点M到点F(3，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小2.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点P(m，0)(m>0)作互作垂直的两条直线l1，l2，它们与(1)中轨迹E分别交于点A，B及点C，D，且G，H分别是线段AB，CD的中点，求△PGH面积的最小值.
解 (1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，
结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，
则知eq \f(p,2)＝3，解得p＝6，
故M的轨迹E的方程为y2＝12x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有yeq \\al(2,1)＝12x1，yeq \\al(2,2)＝12x2，
以上两式作差，并整理可得
eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(12,y1＋y2)＝eq \f(6,yG).
即kAB＝eq \f(6,yG)，同理可得kCD＝eq \f(6,yH)，
易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，
又由于l1⊥l2，
可得kAB·kCD＝eq \f(36,yGyH)＝－1，
即yGyH＝－36，
所以S△PGH＝eq \f(1,2)|PG|·|PH|
＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋\f(1,keq \\al(2,AB)))|yG| ·eq \r(1＋\f(1,keq \\al(2,CD)))|yH|
＝18eq \r(2＋\f(1,keq \\al(2,AB))＋\f(1,keq \\al(2,CD)))≥18eq \r(2＋\f(2,|kABkCD|))
＝18eq \r(2＋2)＝36，
当且仅当|kAB|＝|kCD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36.
途径3 换元引参
结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.
例3 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>eq \r(3).
证明 法一 设P(acs θ，bsin θ)(0≤θ<2π)，
则线段OP的中点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)cs θ，\f(b,2)sin θ)).
|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.
又A(－a，0)，
所以kAQ＝eq \f(bsin θ,2a＋acs θ)，
即bsin θ－akAQcs θ＝2akAQ.
2akAQ＝eq \r(b2＋a2keq \\al(2,AQ))sin(θ－α)，
tan θ＝eq \f(akAQ,b)，
从而可得|2akAQ|≤eq \r(b2＋a2keq \\al(2,AQ))解得|kAQ|故|k|＝eq \f(1,|kAQ|)>eq \r(3).
法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx，
可设点P的坐标为(x0，kx0).
由点P在椭圆上，得eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(k2xeq \\al(2,0),b2)＝1.
因为a>b>0，kx0≠0，
所以eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(k2xeq \\al(2,0),a2)<1，
即(1＋k2)xeq \\al(2,0)由|AP|＝|OA|及A(－a，0)，
得(x0＋a)2＋k2xeq \\al(2,0)＝a2，
整理得(1＋k2)xeq \\al(2,0)＋2ax0＝0，
于是x0＝eq \f(－2a,1＋k2)，
代入①，得(1＋k2)·eq \f(4a2,（1＋k2）2)解得k2>3，
所以|k|>eq \r(3).
法三 依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0).
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0，,\f(xeq \\al(2,0),a2)＋\f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，))
消去y0并整理，得xeq \\al(2,0)＝eq \f(a2b2,k2a2＋b2).①
由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2xeq \\al(2,0)＝a2，
整理得(1＋k2)xeq \\al(2,0)＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝eq \f(－2a,1＋k2)，
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(2)＋4.
又a>b>0，
故(1＋k2)2>4k2＋4，
即k2＋1>4，
因此k2>3，所以|k|>eq \r(3).
训练1 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1，0)，若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝( )
A.2eq \r(3) B.2eq \r(5)
C.2 D.4
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由已知，得F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
设双曲线C2的实半轴长为a，
由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF1|＋|AF2|＝4，,|AF2|－|AF1|＝2a，,|AF1|2＋|AF2|2＝12，))
解得a2＝2，故a＝eq \r(2)，
所以双曲线C2的离心率e＝eq \f(\r(3),\r(2))＝eq \f(\r(6),2).
(2)由于抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，
则有4＝2p，解得p＝2，
设直线l的倾斜角为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
根据焦半径公式，
可得|AF|＝eq \f(2,1－cs α)，|BF|＝eq \f(2,1＋cs α)，
由于以QF为直径的圆经过点B，则有BQ⊥BF，在Rt△QBF中，|BF|＝2cs α，
则有|BF|＝eq \f(2,1＋cs α)＝2cs α，
即1－cs2α＝cs α，
所以|AF|－|BF|＝eq \f(2,1－cs α)－eq \f(2,1＋cs α)＝eq \f(4cs α,1－cs2 α)＝eq \f(4cs α,cs α)＝4，故选D.
类型二 优化运算之二级结论的应用
圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题.
应用1 椭圆中二级结论的应用
例4 (1)A，B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),3)
(2)已知椭圆方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1，右焦点为F，上顶点为B.直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，则直线l方程为________.
答案 (1)D (2)x－y＋eq \r(6)＝0
解析 (1)椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－eq \f(b2,a2)，
∴－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(4,9)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，∴椭圆的离心率e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3).
(2)设点M(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1上一点.
由过点M与椭圆相切的结论，可设l：eq \f(x0x,5)＋y0y＝1，
在直线MN的方程中，令x＝0，可得y＝eq \f(1,y0)，
由题意可知y0>0，即点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,y0))).
直线BF的斜率为kBF＝－eq \f(b,c)＝－eq \f(1,2)，
所以，直线PN的方程为y＝2x＋eq \f(1,y0).
在直线PN的方程中，令y＝0，可得x＝－eq \f(1,2y0)，
即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2y0)，0)).
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，
即eq \f(y0,x0＋\f(1,2y0))＝eq \f(2yeq \\al(2,0),2x0y0＋1)＝－eq \f(1,2)，
整理可得(x0＋5y0)2＝0，
所以x0＝－5y0.
又因为eq \f(xeq \\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，所以6yeq \\al(2,0)＝1.
因为y0>0，故y0＝eq \f(\r(6),6)，x0＝－eq \f(5\r(6),6)，
所以直线l的方程为－eq \f(\r(6),6)x＋eq \f(\r(6),6)y＝1，即x－y＋eq \r(6)＝0.
训练2 (1)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
(2)(2022·海南模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝eq \f(π,3)时，S△F1PF2＝4eq \r(3)；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝eq \f(4,3)，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(x2,12)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由题意知c＝3，即a2－b2＝9，
AB的中点记为P(1，－1)，
由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)，
则(－1)×eq \f(－1－0,1－3)＝－eq \f(b2,a2)，
∴a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，
∴E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
当∠F1PF2＝eq \f(π,3)时，由题意知S△F1PF2＝b2taneq \f(θ,2)，
即4eq \r(3)＝b2taneq \f(π,6)，所以b2＝12.
当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，
所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.
由tan∠F1PF2＝eq \f(4,3)，得eq \f(|F1F2|,|PF2|)＝eq \f(4,3)，
即n＝eq \f(3c,2)，
则m＝eq \f(5,2)c，且n＝eq \f(b2,a)＝eq \f(12,a).
所以联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)＋\f(5c,2)＝2a，,\f(3c,2)＝\f(12,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2，))
所以椭圆标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
应用2 双曲线中二级结论的应用
例5 (1)已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
(2)已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的两条切线PA，PB，A，B为切点，求直线AB的方程为________.
答案 (1)B (2)2x－y－2＝0
解析 (1)由题意可知kAB＝eq \f(－15－0,－12－3)＝1，kMO＝eq \f(－15－0,－12－0)＝eq \f(5,4)，
由双曲线中点弦性质得kMO·kAB＝eq \f(b2,a2)，
即eq \f(5,4)＝eq \f(b2,a2)，又9＝a2＋b2，
联立解得a2＝4，b2＝5，
故双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则PA：x1x－eq \f(y1y,2)＝1，PB：x2x－eq \f(y2y,2)＝1，
又点P(1，1)代入得x1－eq \f(1,2)y1＝1，x2－eq \f(1,2)y2＝1，
∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x－eq \f(1,2)y＝1上，
∴过直线AB的方程为x－eq \f(1,2)y＝1，
即2x－y－2＝0.
训练3 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为________.
(2)已知P是椭圆eq \f(x2,aeq \\al(2,1))＋eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和双曲线eq \f(x2,aeq \\al(2,2))－eq \f(y2,beq \\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则e1·e2的最小值为________.
答案 (1)3 (2)eq \f(\r(3),2)
解析 (1)由题意知eq \f(c,a)＝2，即eq \f(c2,a2)＝4，
∴c2＝4a2，∴a2＋b2＝4a2，
∴b2＝3a2，∴kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝3.
(2)因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S△PF1F2＝beq \\al(2,1)taneq \f(π,6)＝eq \f(beq \\al(2,2),tan \f(π,6))，化简得beq \\al(2,1)＝3beq \\al(2,2)，即aeq \\al(2,1)－c2＝3(c2－aeq \\al(2,2))，等式两边同除c2，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))－1＝3－eq \f(3,eeq \\al(2,2))，
所以4＝eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))≥eq \f(2\r(3),e1·e2)，解得e1·e2≥eq \f(\r(3),2)，
所以e1·e2的最小值为eq \f(\r(3),2).
应用3 抛物线中二级结论的应用
例6 (1)已知F是抛物线C：y2＝4x焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16 B.14
C.12 D.10
(2)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \(BF,\s\up6(→))，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(4\r(3),3)
C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如图，设直线l1的倾斜角为θ，
θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(4,sin2θ)，
|DE|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(4,cs2θ)，
∴|AB|＋|DE|＝eq \f(4,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)＝eq \f(4,sin2θcs2θ)≥eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,2)))\s\up12(2))＝16，
当且仅当sin2θ＝cs2θ，即sin θ＝cs θ，即θ＝eq \f(π,4)时取“＝”.
(2)由题意知eq \f(|AF|,|BF|)＝3，设l的倾斜角为θ，则|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，
|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
∴eq \f(1＋cs θ,1－cs θ)＝3，cs θ＝eq \f(1,2)，sin θ＝eq \f(\r(3),2)，
S＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3).
训练4 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为2eq \r(6)，则|AB|＝( )
A.24 B.8
C.12 D.16
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为( )
A.±eq \r(2) B.±2eq \r(2)
C.±eq \f(\r(2),2) D.±eq \f(\r(2),4)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由题意知p＝2，S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝2eq \r(6)，
∴sin θ＝eq \f(1,\r(6))，
∴|AB|＝eq \f(2p,sin2 θ)＝24.
(2)由抛物线的焦点弦的性质知eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(2,p)＝1，
又|MF|＝2|NF|，
解得|NF|＝eq \f(3,2)，|MF|＝3，∴|MN|＝eq \f(9,2)，
设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，
又|MN|＝eq \f(2p,sin2θ)，∴eq \f(4,sin2θ)＝eq \f(9,2)，
∴sin2θ＝eq \f(8,9)，∴cs2θ＝eq \f(1,9)，
∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±2eq \r(2)，
故k＝±2eq \r(2).
一、基本技能练
1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝eq \f(3,2)，故S△OAB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(\f(9,4),2sin 30°)＝eq \f(9,4).
2.已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 B
解析 由周角定理得kPA1·kPA2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,4)，
又kPA2∈[－2，－1]，
∴kPA1＝eq \f(－\f(3,4),kPA2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).
3.已知斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F是C的焦点，△OFM的面积等于3，则k＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2\r(6),3)
答案 B
解析 设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k＝eq \f(p,y0)(y0≠0).
由抛物线方程知p＝2，所以k＝eq \f(2,y0)，另焦点F(1，0)，
又S△OFM＝3，可知eq \f(1,2)×1×y0＝3，
所以y0＝6，再代入k＝eq \f(2,y0)＝eq \f(1,3).
4.椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的最大距离是( )
A.3 B.eq \r(11)
C.2eq \r(2) D.eq \r(10)
答案 D
解析 设椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点P(4cs θ，2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的距离为
d＝eq \f(|4cs θ＋4sin θ－\r(2)|,\r(5))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\r(2))),\r(5))，
所以dmax＝eq \f(|－4\r(2)－\r(2)|,\r(5))＝eq \r(10)，故选D.
5.已知点A(0，－eq \r(5))，B(2，0)，点P为函数y＝2eq \r(1＋x2)图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A.1＋2eq \r(5) B.7
C.3 D.不存在
答案 B
解析 由y＝2eq \r(1＋x2)，得eq \f(y2,4)－x2＝1(y＞0).
设点A′(0，eq \r(5))，即点A′(0，eq \r(5))，A(0，－eq \r(5))为双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的上、下焦点.
由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，
则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|≥4＋|BA′|＝7，当且仅当B，P，A′共线时取等号，故选B.
6.已知椭圆Г：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k＝( )
A.1 B.2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 依题意a＝2b，e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，
因为eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，
所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,（λ＋1）cs α)))
得eq \f(\r(3),2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－1,（3＋1）cs α)))，|cs α|＝eq \f(\r(3),3)，
又k>0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得cs α＝eq \f(\r(3),3)，所以k＝tan α＝eq \r(2).
7.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________.
答案 y2＝2x
解析 ∵|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(2p,sin2 \f(π,6))＝8p＝8，
∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.
8.已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为椭圆：eq \f(x2,2)＋y2＝1内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________.
答案 2x＋4y－3＝0
解析 直线与椭圆交于A，B，P为AB中点.
由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)得kAB×1＝－eq \f(1,2)，
即kAB＝－eq \f(1,2)，
则直线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即2x＋4y－3＝0.
9.(2022·福州模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.
答案 eq \r(3)
解析 如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，
所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝∠θ＝eq \f(π,2)，
根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF′F＝eq \f(b2,tan\f(θ,2)).
所以2a2＝b2，即eq \f(b2,a2)＝2，
e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(3).
10.(2022·武汉调研)已知双曲线C1：eq \f(x2,aeq \\al(2,1))－eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)与C2：eq \f(y2,aeq \\al(2,2))－eq \f(x2,beq \\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为________.
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 设双曲线C1，C2的半焦距分别为c1，c2，
因为C1的离心率为2，
所以C1的渐近线方程为y＝±eq \f(b1,a1)x＝±eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c1,a1)))\s\up12(2)－1)x＝±eq \r(22－1)x＝±eq \r(3)x，
所以C2的渐近线方程为
y＝±eq \f(a2,b2)x＝±eq \r(3)x，
所以eq \f(a2,b2)＝eq \r(3)，
所以C2的离心率为eq \r(\f(ceq \\al(2,2),aeq \\al(2,2)))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(3),3).
11.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.
(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝1时，求椭圆C的方程.
解 (1)由题意知直线l：y＝x＋a与x轴交于点(－a，0)，
∴点M为椭圆C的左顶点，即M(－a，0).
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，
代入椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1得eq \f(1,4)＋eq \f(a2,4b2)＝1，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，
则e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(\r(6),3)，
即椭圆C的离心率e＝eq \f(\r(6),3).
(2)由题意得a＝2，
∴椭圆C：b2x2＋4y2＝4b2(b>0)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2x2＋4y2＝4b2，,y＝kx＋2，))
消去y得(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝16b2（4k2＋b2－4）>0，,xM＋xN＝－\f(16k,4k2＋b2)，,xM·xN＝\f(16－4b2,4k2＋b2)，))
∵直线QM：y＝eq \f(yM,xM－2)(x－2)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2yM,xM－2)))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2yM＋2xM－4,2－xM))).
∵yM＝kxM＋2，
∴yM－2＝kxM，
即eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2（k＋1）xM,2－xM)))，
同理eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2（k＋1）xN,2－xN)))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \f(4（k＋1）2xMxN,xMxN－2（xM＋xN）＋4)＝4－b2＝1，
即b2＝3，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq \r(17)，0)，F2(eq \r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝eq \f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2eq \r(17)，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝eq \r(17)，
得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为
x2－eq \f(y2,16)＝1(x≥1).
(2)设Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，t))，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，设直线AB的方程为y－t＝k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k2≠0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－t＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,x2－\f(y2,16)＝1，))
得(16－keq \\al(2,1))x2－2k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))eq \s\up12(2)－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA>\f(1,2)，xB>\f(1,2)))，
由题意知16－keq \\al(2,1)≠0，
则xAxB＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq \\al(2,1))，
xA＋xB＝eq \f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2))),16－keq \\al(2,1))，
所以|TA|＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))，
|TB|＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))，
则|TA|·|TB|
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(xAxB－\f(1,2)（xA＋xB）＋\f(1,4)))
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq \\al(2,1))－\f(1,2)·))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2))),16－keq \\al(2,1))＋\f(1,4)))＝eq \f(（1＋keq \\al(2,1)）（t2＋12）,keq \\al(2,1)－16).
同理得|TP|·|TQ|＝eq \f(（1＋keq \\al(2,2)）（t2＋12）,keq \\al(2,2)－16).
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以eq \f(（1＋keq \\al(2,1)）（t2＋12）,keq \\al(2,1)－16)＝eq \f(（1＋keq \\al(2,2)）（t2＋12）,keq \\al(2,2)－16)，
所以keq \\al(2,2)－16＋keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)－16keq \\al(2,1)＝keq \\al(2,1)－16＋keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)－16keq \\al(2,2)，
即keq \\al(2,1)＝keq \\al(2,2)，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
二、创新拓展练
13.(多选)(2022·海南调研)已知斜率为eq \r(3)的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是( )
A.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1 B.|AF|＝6
C.|BD|＝2|BF| D.F为AD中点
答案 BCD
解析 法一 如图，过点B作x＝－eq \f(p,2)的垂线，垂足为B′，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，
则直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))
得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝eq \f(3p,2)，xB＝eq \f(p,6)，
由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(8p,3)＝8，得p＝3.
所以抛物线方程为y2＝6x.
则|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝2p＝6，故B正确；
所以|BF|＝8－|AF|＝2，
|BD|＝eq \f(|BB′|,cs 60°)＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝4，
∴|BD|＝2|BF|，故C正确；
所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；
而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,3)，故A错误.
法二 设直线AB的倾斜角为θ，
利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝8，则p＝3，
|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)＝6，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)＝2，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(2,3)，
在Rt△DBB′中，cs θ＝eq \f(|BB′|,|BD|)，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.故选BCD.
14.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则eq \f(1,keq \\al(2,2))－eq \f(1,keq \\al(2,1))＝________.
答案 1
解析 F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，
所以(x2，－y2)在直线AF上，
直线AF：y＝k1(x－1)，代入y2＝4x，
化简可得keq \\al(2,1)x2－(2keq \\al(2,1)＋4)x＋keq \\al(2,1)＝0，
根据韦达定理，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2keq \\al(2,1)＋4,keq \\al(2,1))，,x1x2＝1，))
又k2＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(\r(4x2)－\r(4x1),x2－x1)＝eq \f(2,\r(x2)＋\r(x1))，
所以keq \\al(2,2)＝eq \f(4,x1＋x2＋2\r(x1x2))＝eq \f(4,\f(2keq \\al(2,1)＋4,keq \\al(2,1))＋2)＝eq \f(keq \\al(2,1),keq \\al(2,1)＋1)，
故eq \f(1,keq \\al(2,2))－eq \f(1,keq \\al(2,1))＝1.
15.已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为________.
答案 eq \f(3,4)
解析 由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为
y＝k(x－m)＋n，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－m）＋n，,x2＝8y，))
得x2－8kx＋8km－8n＝0，
因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，
即2k2－km＋n＝0，
所以k1＋k2＝eq \f(m,2)，k1k2＝eq \f(n,2)，
又由x2＝8y得y′＝eq \f(x,4)，
所以x1＝4k1，y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),8)＝2keq \\al(2,1)，
x2＝4k2，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),8)＝2keq \\al(2,2)，
所以kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2keq \\al(2,2)－2keq \\al(2,1),4k2－4k1)＝eq \f(k2＋k1,2)＝eq \f(m,4)，
因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，
所以1≤m≤3，因此eq \f(1,4)≤eq \f(m,4)≤eq \f(3,4)，
即直线AB斜率的最大值为eq \f(3,4).
16.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝eq \f(8,3)相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.
(1)解 圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝4eq \r(2)，|BC|＝4.
连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，
∵|MB|＋|MC|＝|MB|＋|MA|＝|BA|＝r＝4eq \r(2)>|BC|，
∴由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4eq \r(2)的椭圆，即a＝2eq \r(2)，c＝2，b2＝a2－c2＝4，
∴点M的轨迹方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明 当直线EF的斜率不存在时，
直线EF的方程为x＝±eq \r(\f(8,3))，
E，F的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,3))，\r(\f(8,3))))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,3))，－\r(\f(8,3))))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(8,3))，\r(\f(8,3))))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(8,3))，－\r(\f(8,3))))，eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝0.
当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为y＝kx＋m，
∵EF与圆O：x2＋y2＝eq \f(8,3)相切，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(\f(8,3))，
即3m2＝8k2＋8.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，(*)
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋m，))
消去y得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，
x1x2＝eq \f(2m2－8,1＋2k2)，
代入(*)式得eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))
＝(1＋k2)·eq \f(2m2－8,1＋2k2)－eq \f(4k2m2,1＋2k2)＋m2
＝eq \f(3m2－8k2－8,1＋2k2)，
又∵3m2＝8k2＋8，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝0，
综上，以EF为直径的圆恒过定点O.
1.焦点三角形的面积
(1)设P点是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tan eq \f(θ,2).
(2)设P点是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
2.中心弦的性质
设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则kPAkPB＝eq \f(b2,a2)＝e2－1.
3.中点弦的性质
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝eq \f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝eq \f(b2,a2)＝e2－1.
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝eq \f(p,y0).
4.圆锥曲线的切线方程
设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，
(1)若圆锥曲线为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
(2)若圆锥曲线为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
5.与抛物线的焦点弦有关的二级结论
过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为eq \f(p,1－cs θ)，eq \f(p,1＋cs θ)；(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；(4)|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ).
类型一 优化运算的基本途径
途径1 回归定义
当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.
例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程.
解 设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故结合抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).
由题设可得x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(12（t－1）,9)，
从而－eq \f(12（t－1）,9)＝eq \f(5,2)，
解得t＝－eq \f(7,8)，所以直线l的方程为
y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
途径2 设而不求
在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算.
例2 已知点M到点F(3，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小2.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点P(m，0)(m>0)作互作垂直的两条直线l1，l2，它们与(1)中轨迹E分别交于点A，B及点C，D，且G，H分别是线段AB，CD的中点，求△PGH面积的最小值.
解 (1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，
结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，
则知eq \f(p,2)＝3，解得p＝6，
故M的轨迹E的方程为y2＝12x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有yeq \\al(2,1)＝12x1，yeq \\al(2,2)＝12x2，
以上两式作差，并整理可得
eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(12,y1＋y2)＝eq \f(6,yG).
即kAB＝eq \f(6,yG)，同理可得kCD＝eq \f(6,yH)，
易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，
又由于l1⊥l2，
可得kAB·kCD＝eq \f(36,yGyH)＝－1，
即yGyH＝－36，
所以S△PGH＝eq \f(1,2)|PG|·|PH|
＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋\f(1,keq \\al(2,AB)))|yG| ·eq \r(1＋\f(1,keq \\al(2,CD)))|yH|
＝18eq \r(2＋\f(1,keq \\al(2,AB))＋\f(1,keq \\al(2,CD)))≥18eq \r(2＋\f(2,|kABkCD|))
＝18eq \r(2＋2)＝36，
当且仅当|kAB|＝|kCD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36.
途径3 换元引参
结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.
例3 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>eq \r(3).
证明 法一 设P(acs θ，bsin θ)(0≤θ<2π)，
则线段OP的中点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)cs θ，\f(b,2)sin θ)).
|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.
又A(－a，0)，
所以kAQ＝eq \f(bsin θ,2a＋acs θ)，
即bsin θ－akAQcs θ＝2akAQ.
2akAQ＝eq \r(b2＋a2keq \\al(2,AQ))sin(θ－α)，
tan θ＝eq \f(akAQ,b)，
从而可得|2akAQ|≤eq \r(b2＋a2keq \\al(2,AQ))
法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx，
可设点P的坐标为(x0，kx0).
由点P在椭圆上，得eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(k2xeq \\al(2,0),b2)＝1.
因为a>b>0，kx0≠0，
所以eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(k2xeq \\al(2,0),a2)<1，
即(1＋k2)xeq \\al(2,0)
得(x0＋a)2＋k2xeq \\al(2,0)＝a2，
整理得(1＋k2)xeq \\al(2,0)＋2ax0＝0，
于是x0＝eq \f(－2a,1＋k2)，
代入①，得(1＋k2)·eq \f(4a2,（1＋k2）2)
所以|k|>eq \r(3).
法三 依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0).
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0，,\f(xeq \\al(2,0),a2)＋\f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，))
消去y0并整理，得xeq \\al(2,0)＝eq \f(a2b2,k2a2＋b2).①
由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2xeq \\al(2,0)＝a2，
整理得(1＋k2)xeq \\al(2,0)＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝eq \f(－2a,1＋k2)，
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(2)＋4.
又a>b>0，
故(1＋k2)2>4k2＋4，
即k2＋1>4，
因此k2>3，所以|k|>eq \r(3).
训练1 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(－1，0)，若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|－|BF|＝( )
A.2eq \r(3) B.2eq \r(5)
C.2 D.4
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由已知，得F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
设双曲线C2的实半轴长为a，
由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF1|＋|AF2|＝4，,|AF2|－|AF1|＝2a，,|AF1|2＋|AF2|2＝12，))
解得a2＝2，故a＝eq \r(2)，
所以双曲线C2的离心率e＝eq \f(\r(3),\r(2))＝eq \f(\r(6),2).
(2)由于抛物线C：y2＝2px(p>0)过点(1，－2)，
则有4＝2p，解得p＝2，
设直线l的倾斜角为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
根据焦半径公式，
可得|AF|＝eq \f(2,1－cs α)，|BF|＝eq \f(2,1＋cs α)，
由于以QF为直径的圆经过点B，则有BQ⊥BF，在Rt△QBF中，|BF|＝2cs α，
则有|BF|＝eq \f(2,1＋cs α)＝2cs α，
即1－cs2α＝cs α，
所以|AF|－|BF|＝eq \f(2,1－cs α)－eq \f(2,1＋cs α)＝eq \f(4cs α,1－cs2 α)＝eq \f(4cs α,cs α)＝4，故选D.
类型二 优化运算之二级结论的应用
圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题.
应用1 椭圆中二级结论的应用
例4 (1)A，B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),3)
(2)已知椭圆方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1，右焦点为F，上顶点为B.直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，则直线l方程为________.
答案 (1)D (2)x－y＋eq \r(6)＝0
解析 (1)椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－eq \f(b2,a2)，
∴－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(4,9)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，∴椭圆的离心率e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3).
(2)设点M(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,5)＋y2＝1上一点.
由过点M与椭圆相切的结论，可设l：eq \f(x0x,5)＋y0y＝1，
在直线MN的方程中，令x＝0，可得y＝eq \f(1,y0)，
由题意可知y0>0，即点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,y0))).
直线BF的斜率为kBF＝－eq \f(b,c)＝－eq \f(1,2)，
所以，直线PN的方程为y＝2x＋eq \f(1,y0).
在直线PN的方程中，令y＝0，可得x＝－eq \f(1,2y0)，
即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2y0)，0)).
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，
即eq \f(y0,x0＋\f(1,2y0))＝eq \f(2yeq \\al(2,0),2x0y0＋1)＝－eq \f(1,2)，
整理可得(x0＋5y0)2＝0，
所以x0＝－5y0.
又因为eq \f(xeq \\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，所以6yeq \\al(2,0)＝1.
因为y0>0，故y0＝eq \f(\r(6),6)，x0＝－eq \f(5\r(6),6)，
所以直线l的方程为－eq \f(\r(6),6)x＋eq \f(\r(6),6)y＝1，即x－y＋eq \r(6)＝0.
训练2 (1)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
(2)(2022·海南模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝eq \f(π,3)时，S△F1PF2＝4eq \r(3)；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝eq \f(4,3)，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(x2,12)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由题意知c＝3，即a2－b2＝9，
AB的中点记为P(1，－1)，
由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)，
则(－1)×eq \f(－1－0,1－3)＝－eq \f(b2,a2)，
∴a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，
∴E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
当∠F1PF2＝eq \f(π,3)时，由题意知S△F1PF2＝b2taneq \f(θ,2)，
即4eq \r(3)＝b2taneq \f(π,6)，所以b2＝12.
当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，
所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.
由tan∠F1PF2＝eq \f(4,3)，得eq \f(|F1F2|,|PF2|)＝eq \f(4,3)，
即n＝eq \f(3c,2)，
则m＝eq \f(5,2)c，且n＝eq \f(b2,a)＝eq \f(12,a).
所以联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)＋\f(5c,2)＝2a，,\f(3c,2)＝\f(12,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2，))
所以椭圆标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
应用2 双曲线中二级结论的应用
例5 (1)已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
(2)已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的两条切线PA，PB，A，B为切点，求直线AB的方程为________.
答案 (1)B (2)2x－y－2＝0
解析 (1)由题意可知kAB＝eq \f(－15－0,－12－3)＝1，kMO＝eq \f(－15－0,－12－0)＝eq \f(5,4)，
由双曲线中点弦性质得kMO·kAB＝eq \f(b2,a2)，
即eq \f(5,4)＝eq \f(b2,a2)，又9＝a2＋b2，
联立解得a2＝4，b2＝5，
故双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则PA：x1x－eq \f(y1y,2)＝1，PB：x2x－eq \f(y2y,2)＝1，
又点P(1，1)代入得x1－eq \f(1,2)y1＝1，x2－eq \f(1,2)y2＝1，
∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x－eq \f(1,2)y＝1上，
∴过直线AB的方程为x－eq \f(1,2)y＝1，
即2x－y－2＝0.
训练3 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为________.
(2)已知P是椭圆eq \f(x2,aeq \\al(2,1))＋eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和双曲线eq \f(x2,aeq \\al(2,2))－eq \f(y2,beq \\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则e1·e2的最小值为________.
答案 (1)3 (2)eq \f(\r(3),2)
解析 (1)由题意知eq \f(c,a)＝2，即eq \f(c2,a2)＝4，
∴c2＝4a2，∴a2＋b2＝4a2，
∴b2＝3a2，∴kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝3.
(2)因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S△PF1F2＝beq \\al(2,1)taneq \f(π,6)＝eq \f(beq \\al(2,2),tan \f(π,6))，化简得beq \\al(2,1)＝3beq \\al(2,2)，即aeq \\al(2,1)－c2＝3(c2－aeq \\al(2,2))，等式两边同除c2，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))－1＝3－eq \f(3,eeq \\al(2,2))，
所以4＝eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))≥eq \f(2\r(3),e1·e2)，解得e1·e2≥eq \f(\r(3),2)，
所以e1·e2的最小值为eq \f(\r(3),2).
应用3 抛物线中二级结论的应用
例6 (1)已知F是抛物线C：y2＝4x焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16 B.14
C.12 D.10
(2)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \(BF,\s\up6(→))，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(4\r(3),3)
C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如图，设直线l1的倾斜角为θ，
θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(4,sin2θ)，
|DE|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(4,cs2θ)，
∴|AB|＋|DE|＝eq \f(4,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)＝eq \f(4,sin2θcs2θ)≥eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,2)))\s\up12(2))＝16，
当且仅当sin2θ＝cs2θ，即sin θ＝cs θ，即θ＝eq \f(π,4)时取“＝”.
(2)由题意知eq \f(|AF|,|BF|)＝3，设l的倾斜角为θ，则|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，
|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
∴eq \f(1＋cs θ,1－cs θ)＝3，cs θ＝eq \f(1,2)，sin θ＝eq \f(\r(3),2)，
S＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3).
训练4 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为2eq \r(6)，则|AB|＝( )
A.24 B.8
C.12 D.16
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为( )
A.±eq \r(2) B.±2eq \r(2)
C.±eq \f(\r(2),2) D.±eq \f(\r(2),4)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由题意知p＝2，S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝2eq \r(6)，
∴sin θ＝eq \f(1,\r(6))，
∴|AB|＝eq \f(2p,sin2 θ)＝24.
(2)由抛物线的焦点弦的性质知eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(2,p)＝1，
又|MF|＝2|NF|，
解得|NF|＝eq \f(3,2)，|MF|＝3，∴|MN|＝eq \f(9,2)，
设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，
又|MN|＝eq \f(2p,sin2θ)，∴eq \f(4,sin2θ)＝eq \f(9,2)，
∴sin2θ＝eq \f(8,9)，∴cs2θ＝eq \f(1,9)，
∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±2eq \r(2)，
故k＝±2eq \r(2).
一、基本技能练
1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝eq \f(3,2)，故S△OAB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(\f(9,4),2sin 30°)＝eq \f(9,4).
2.已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 B
解析 由周角定理得kPA1·kPA2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,4)，
又kPA2∈[－2，－1]，
∴kPA1＝eq \f(－\f(3,4),kPA2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).
3.已知斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F是C的焦点，△OFM的面积等于3，则k＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2\r(6),3)
答案 B
解析 设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k＝eq \f(p,y0)(y0≠0).
由抛物线方程知p＝2，所以k＝eq \f(2,y0)，另焦点F(1，0)，
又S△OFM＝3，可知eq \f(1,2)×1×y0＝3，
所以y0＝6，再代入k＝eq \f(2,y0)＝eq \f(1,3).
4.椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的最大距离是( )
A.3 B.eq \r(11)
C.2eq \r(2) D.eq \r(10)
答案 D
解析 设椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的点P(4cs θ，2sin θ)，
则点P到直线x＋2y－eq \r(2)＝0的距离为
d＝eq \f(|4cs θ＋4sin θ－\r(2)|,\r(5))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\r(2))),\r(5))，
所以dmax＝eq \f(|－4\r(2)－\r(2)|,\r(5))＝eq \r(10)，故选D.
5.已知点A(0，－eq \r(5))，B(2，0)，点P为函数y＝2eq \r(1＋x2)图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A.1＋2eq \r(5) B.7
C.3 D.不存在
答案 B
解析 由y＝2eq \r(1＋x2)，得eq \f(y2,4)－x2＝1(y＞0).
设点A′(0，eq \r(5))，即点A′(0，eq \r(5))，A(0，－eq \r(5))为双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的上、下焦点.
由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，
则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|≥4＋|BA′|＝7，当且仅当B，P，A′共线时取等号，故选B.
6.已知椭圆Г：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k＝( )
A.1 B.2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 依题意a＝2b，e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，
因为eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，
所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,（λ＋1）cs α)))
得eq \f(\r(3),2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－1,（3＋1）cs α)))，|cs α|＝eq \f(\r(3),3)，
又k>0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得cs α＝eq \f(\r(3),3)，所以k＝tan α＝eq \r(2).
7.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________.
答案 y2＝2x
解析 ∵|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(2p,sin2 \f(π,6))＝8p＝8，
∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.
8.已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为椭圆：eq \f(x2,2)＋y2＝1内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________.
答案 2x＋4y－3＝0
解析 直线与椭圆交于A，B，P为AB中点.
由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)得kAB×1＝－eq \f(1,2)，
即kAB＝－eq \f(1,2)，
则直线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即2x＋4y－3＝0.
9.(2022·福州模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.
答案 eq \r(3)
解析 如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，
所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝∠θ＝eq \f(π,2)，
根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF′F＝eq \f(b2,tan\f(θ,2)).
所以2a2＝b2，即eq \f(b2,a2)＝2，
e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(3).
10.(2022·武汉调研)已知双曲线C1：eq \f(x2,aeq \\al(2,1))－eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)与C2：eq \f(y2,aeq \\al(2,2))－eq \f(x2,beq \\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为________.
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 设双曲线C1，C2的半焦距分别为c1，c2，
因为C1的离心率为2，
所以C1的渐近线方程为y＝±eq \f(b1,a1)x＝±eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c1,a1)))\s\up12(2)－1)x＝±eq \r(22－1)x＝±eq \r(3)x，
所以C2的渐近线方程为
y＝±eq \f(a2,b2)x＝±eq \r(3)x，
所以eq \f(a2,b2)＝eq \r(3)，
所以C2的离心率为eq \r(\f(ceq \\al(2,2),aeq \\al(2,2)))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(3),3).
11.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.
(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝1时，求椭圆C的方程.
解 (1)由题意知直线l：y＝x＋a与x轴交于点(－a，0)，
∴点M为椭圆C的左顶点，即M(－a，0).
设Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，
代入椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1得eq \f(1,4)＋eq \f(a2,4b2)＝1，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，
则e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(\r(6),3)，
即椭圆C的离心率e＝eq \f(\r(6),3).
(2)由题意得a＝2，
∴椭圆C：b2x2＋4y2＝4b2(b>0)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2x2＋4y2＝4b2，,y＝kx＋2，))
消去y得(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝16b2（4k2＋b2－4）>0，,xM＋xN＝－\f(16k,4k2＋b2)，,xM·xN＝\f(16－4b2,4k2＋b2)，))
∵直线QM：y＝eq \f(yM,xM－2)(x－2)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2yM,xM－2)))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2yM＋2xM－4,2－xM))).
∵yM＝kxM＋2，
∴yM－2＝kxM，
即eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2（k＋1）xM,2－xM)))，
同理eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2（k＋1）xN,2－xN)))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \f(4（k＋1）2xMxN,xMxN－2（xM＋xN）＋4)＝4－b2＝1，
即b2＝3，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－eq \r(17)，0)，F2(eq \r(17)，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝eq \f(1,2)上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2eq \r(17)，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝eq \r(17)，
得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为
x2－eq \f(y2,16)＝1(x≥1).
(2)设Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，t))，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，设直线AB的方程为y－t＝k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k2≠0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－t＝k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,x2－\f(y2,16)＝1，))
得(16－keq \\al(2,1))x2－2k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))eq \s\up12(2)－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA>\f(1,2)，xB>\f(1,2)))，
由题意知16－keq \\al(2,1)≠0，
则xAxB＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq \\al(2,1))，
xA＋xB＝eq \f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2))),16－keq \\al(2,1))，
所以|TA|＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))，
|TB|＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))＝eq \r(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))，
则|TA|·|TB|
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－\f(1,2)))
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(xAxB－\f(1,2)（xA＋xB）＋\f(1,4)))
＝(1＋keq \\al(2,1))eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－keq \\al(2,1))－\f(1,2)·))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(k1,2))),16－keq \\al(2,1))＋\f(1,4)))＝eq \f(（1＋keq \\al(2,1)）（t2＋12）,keq \\al(2,1)－16).
同理得|TP|·|TQ|＝eq \f(（1＋keq \\al(2,2)）（t2＋12）,keq \\al(2,2)－16).
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以eq \f(（1＋keq \\al(2,1)）（t2＋12）,keq \\al(2,1)－16)＝eq \f(（1＋keq \\al(2,2)）（t2＋12）,keq \\al(2,2)－16)，
所以keq \\al(2,2)－16＋keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)－16keq \\al(2,1)＝keq \\al(2,1)－16＋keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)－16keq \\al(2,2)，
即keq \\al(2,1)＝keq \\al(2,2)，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
二、创新拓展练
13.(多选)(2022·海南调研)已知斜率为eq \r(3)的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是( )
A.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1 B.|AF|＝6
C.|BD|＝2|BF| D.F为AD中点
答案 BCD
解析 法一 如图，过点B作x＝－eq \f(p,2)的垂线，垂足为B′，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，
则直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))
得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝eq \f(3p,2)，xB＝eq \f(p,6)，
由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(8p,3)＝8，得p＝3.
所以抛物线方程为y2＝6x.
则|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝2p＝6，故B正确；
所以|BF|＝8－|AF|＝2，
|BD|＝eq \f(|BB′|,cs 60°)＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝4，
∴|BD|＝2|BF|，故C正确；
所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；
而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,3)，故A错误.
法二 设直线AB的倾斜角为θ，
利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝8，则p＝3，
|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)＝6，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)＝2，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(2,3)，
在Rt△DBB′中，cs θ＝eq \f(|BB′|,|BD|)，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.故选BCD.
14.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则eq \f(1,keq \\al(2,2))－eq \f(1,keq \\al(2,1))＝________.
答案 1
解析 F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，
所以(x2，－y2)在直线AF上，
直线AF：y＝k1(x－1)，代入y2＝4x，
化简可得keq \\al(2,1)x2－(2keq \\al(2,1)＋4)x＋keq \\al(2,1)＝0，
根据韦达定理，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2keq \\al(2,1)＋4,keq \\al(2,1))，,x1x2＝1，))
又k2＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(\r(4x2)－\r(4x1),x2－x1)＝eq \f(2,\r(x2)＋\r(x1))，
所以keq \\al(2,2)＝eq \f(4,x1＋x2＋2\r(x1x2))＝eq \f(4,\f(2keq \\al(2,1)＋4,keq \\al(2,1))＋2)＝eq \f(keq \\al(2,1),keq \\al(2,1)＋1)，
故eq \f(1,keq \\al(2,2))－eq \f(1,keq \\al(2,1))＝1.
15.已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为________.
答案 eq \f(3,4)
解析 由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为
y＝k(x－m)＋n，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－m）＋n，,x2＝8y，))
得x2－8kx＋8km－8n＝0，
因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，
即2k2－km＋n＝0，
所以k1＋k2＝eq \f(m,2)，k1k2＝eq \f(n,2)，
又由x2＝8y得y′＝eq \f(x,4)，
所以x1＝4k1，y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),8)＝2keq \\al(2,1)，
x2＝4k2，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),8)＝2keq \\al(2,2)，
所以kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2keq \\al(2,2)－2keq \\al(2,1),4k2－4k1)＝eq \f(k2＋k1,2)＝eq \f(m,4)，
因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，
所以1≤m≤3，因此eq \f(1,4)≤eq \f(m,4)≤eq \f(3,4)，
即直线AB斜率的最大值为eq \f(3,4).
16.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝eq \f(8,3)相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.
(1)解 圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝4eq \r(2)，|BC|＝4.
连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，
∵|MB|＋|MC|＝|MB|＋|MA|＝|BA|＝r＝4eq \r(2)>|BC|，
∴由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4eq \r(2)的椭圆，即a＝2eq \r(2)，c＝2，b2＝a2－c2＝4，
∴点M的轨迹方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明 当直线EF的斜率不存在时，
直线EF的方程为x＝±eq \r(\f(8,3))，
E，F的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,3))，\r(\f(8,3))))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,3))，－\r(\f(8,3))))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(8,3))，\r(\f(8,3))))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(8,3))，－\r(\f(8,3))))，eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝0.
当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为y＝kx＋m，
∵EF与圆O：x2＋y2＝eq \f(8,3)相切，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(\f(8,3))，
即3m2＝8k2＋8.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，(*)
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋m，))
消去y得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，
x1x2＝eq \f(2m2－8,1＋2k2)，
代入(*)式得eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))
＝(1＋k2)·eq \f(2m2－8,1＋2k2)－eq \f(4k2m2,1＋2k2)＋m2
＝eq \f(3m2－8k2－8,1＋2k2)，
又∵3m2＝8k2＋8，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))＝0，
综上，以EF为直径的圆恒过定点O.
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