微专题35　导数与函数的零点-2024年高考数学二轮微专题系列

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[高考真题](2022·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ax－eq \f(1,x)－(a＋1)ln x.若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
解 由f(x)＝ax－eq \f(1,x)－(a＋1)ln x(x＞0)，得f′(x)＝a＋eq \f(1,x2)－eq \f(a＋1,x)＝eq \f(（ax－1）（x－1）,x2)(x＞0).
当a＝0时，f′(x)＝eq \f(1－x,x2)，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0时，aex＋2>0，
由f′(x)1，
所以f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
而f(1)＝－ae0，
所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，
且该零点在(1，2)上.
取b0，
所以f(x)在(－∞，1)上有唯一零点，
且该零点在(b，1)上，
所以当a>0时，f(x)恰好有两个零点.
训练2 (2021·全国甲卷节选)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq \f(xa,ax)(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
解 f(x)＝eq \f(xa,ax)＝1⇔ax＝xa⇔xln a＝aln x⇔eq \f(ln x,x)＝eq \f(ln a,a)，
设函数g(x)＝eq \f(ln x,x)(x>0)，
则g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
令g′(x)＝0，得x＝e，
在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)