湖南省岳阳市临湘市2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（含答案）

这是一份湖南省岳阳市临湘市2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级__________ 姓名__________
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（3m）2＝9m2B．3m3•2m2＝6m6
C．m+3m＝3m2D．m6÷m6＝m
2．（3分）国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”国家环保部门大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及1375000000中国人，请将1375000000用科学记数法表示为（ ）
A．13.75×108B．1.375×109C．1.375×106D．1.375×1010
3．（3分）观察如图所示几何体，从正面看到的图形是长方形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意选择某电视频道，它正在播新闻联播
B．温州今年元旦当天的最高气温为15℃
C．在装有白色和黑色的袋中摸球，摸出红球
D．不在同一直线上的三点确定一个圆
5．（3分）如图，AD和BC相交于O点，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加（ ）
A．AB＝CDB．∠A＝∠CC．OB＝ODD．∠AOB＝∠COD
6．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
7．（3分）半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，﹣4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定
8．（3分）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x包，则依题意列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0B．﹣2＜x＜2
C．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0 或x＞2
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：
①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；
其中正确结论的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：mx2﹣my2＝ ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10m，CD⊥AB，垂足为D，那么BD＝ ．
14．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为4cm，5cm．则它的面积是 cm2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为 ．
三、解答题（共9题，第17、18、19题每小题0分，第20、21题每小题0分，第22、23题每小题0分，第24、25题每小题0分，共计72分）
17．计算：（﹣）﹣1++2cs60°﹣（π﹣1）0．
18．先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
19．如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．
（1）求点C的坐标；
（2）若P坐标为（0，2），过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是D，求△BCD的面积．
20．为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动，学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．
（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 ，在扇形统计图中，m的值为 ；
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
21．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积．
22．某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案？
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
24．我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”．
（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长”AB＝2，“立信角”∠ACB＝90°，请直接写出立信△ABC面积的最大值；
（2）如图（2），在△ABD中，AD＝BD＝2，，C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角∠ACB＝60°，求立信△ABC面积的最大值；
（3）如图（3），已知立信长AB＝a（a是常数且a＞0），点C是平面内一动点且满足立信角∠ACB＝120°，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．
25．如图，已知抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作DE∥BC，交x轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的横坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，抛物线对称轴与x轴交于点H，连接GB，点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BGH时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，求m的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．【解答】解：A、原式＝9m2，故A符合题意．
B、原式＝6m5，故B不符合题意．
C、原式＝4m，故C不符合题意．
D、原式＝1，故D不符合统．
故选：A．
2．【解答】解：1375000000＝1.375×109．
故选：B．
3．【解答】解：A．从正面看到的图形是等腰三角形，故本选项不合题意；
B．从正面看到的图形是长方形，故本选项符合题意；
C．从正面看到的图形是等腰三角形，故本选项不合题意；
D．从正面看到的图形是梯形，故本选项不合题意；
故选：B．
4．【解答】解：A．任意选择某电视频道，它正在播新闻联播是必然事件，故选项不符合题意；
B．温州今年元旦当天的最高气温为15℃是随机事件，故选项不符合题意；
C．在装有白色和黑色的袋中摸球，摸出红球是不可能事件，故选项不符合题意；
D．不在同一直线上的三点确定一个圆是必然事件，故选项符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：由题意可得：∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴当∠A＝∠C时，可根据“ASA”可证△AOB≌△COD，
故选：B．
6．【解答】解：由折叠的性质得到，∠EBD＝∠CBD，
∵∠CBD＝35°，
∴∠EBC＝2∠CBD＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC＝70°，
故选：A．
7．【解答】解：∵点P（3，﹣4），
∴OP＝＝5，
∵r＝5，
则OP＝r，
∴点P在⊙O上，
故选：A．
8．【解答】解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩（x+5）包，
依题意得：＝+2．
故选：B．
9．【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣2；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜2．
故选：C．
10．【解答】解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，
∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，
∵CG⊥DE，
∴∠CDG+∠GCD＝90°，
∴∠BCN＝∠CDG，
∴△NBC≌△ECD（ASA），
∴DE＝CN，
故①正确；
②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△NBH∽△CDH，
∴＝，
∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，
∴NB＝BC＝CD，
∴＝＝，
故②正确；
③如下图所示，过H点作IJ∥AD，
∵△NBH∽△CDH，
∴③IJ＝HJ，
∴HI＝IJ＝DC，
∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），
∴S△DEC＝3 S△BNH，
故③正确；
④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，
∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBP＝∠QBE，
由①得△NBC≌△ECD，
∴EC＝BN，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴BE＝BN，
∵∠BPN＝∠BQE＝90°，
∴△BPN≌△BQE（AAS），
∴BP＝BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE＝45°，
故④正确；
⑤如图所示，连接N，E，
设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，
∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，
∴CN＝＝＝，
EN＝＝＝，
由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，
∴GE＝，
∴GN＝＝，
∴GN+GE＝+＝，
∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△NGB∽△CGF，
∴，
∴BG＝FG，
∴BG＝BF，FC＝BN＝x，
∴BG＝×＝，
∴GN+GE＝BG，
故⑤正确；
综上所述，故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．【解答】解：原式＝m（x2﹣y2）
＝m（x+y）（x﹣y）．
故答案为：m（x+y）（x﹣y）．
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
13．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10m，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝5m，
又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝BC＝，
故答案为：．
14．【解答】解：由菱形的面积公式得：
菱形的面积＝×4×5＝10（cm2）；
故答案为：10．
15．【解答】解：由已知得，母线长AB＝10，半径r为6，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝10×6×π＝60π．
故答案为60π．
16．【解答】解：把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4ax+c，得：4a+8a+c＝0，
解得：c＝﹣12a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣12a，
令y＝0，得ax2﹣4ax﹣12a＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴AB＝6﹣（﹣2）＝8，
故答案为：8．
三、解答题（共9题，第17、18、19题每小题0分，第20、21题每小题0分，第22、23题每小题0分，第24、25题每小题0分，共计72分）
17．【解答】解：原式＝
＝0，
故答案为：0．
18．【解答】解：（+1）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
19．【解答】解：（1）∵点A（8，0），点B（3，0），
∴AB＝5，
∵点C是点A关于点B的对称点，
∴BC＝AB，
则点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）∵AB＝5，P坐标为（0，2），
∴BC＝AB＝5，AD＝4，
∴S△BCD＝BC•AD＝＝10．
20．【解答】解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为：200×20%＝40（人），
则选择“书画展览”的人数为200﹣（40+80+20）＝60（人），
∴在扇形统计图中，m%＝×100%＝30%，即m＝30，
故答案为：40，30；
（2）估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2000×＝800（人）；
（3）列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，
所以a同学参加的概率为＝．
21．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OA＝AC＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积＝OA•OD＝3×3＝9．
22．【解答】解：（1）设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元．
（2）设购进A型垃圾桶m个，则购进B型垃圾桶（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：29≤m≤30．
又∵m为正整数，
∴m可以取29，30，
∴该社区共有2种购买方案，
方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；
方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．
23．【解答】解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，
∵∠CAE＝∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴＝＝，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵tan∠D＝，
∴＝，
∴＝；
（3）由（2）可知：＝，
∴设AE＝x，AC＝2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AE•AD，
∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，
由（1）可知：AC＝AF＝4，
∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴＝，
设BF＝a，
∴BC＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，
在Rt△BOF中，
BO2＝OF2+BF2，
∴（﹣3）2＝32+a2，
解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去），
∴AB＝AF+BF＝．
24．【解答】解：（1）如图1中，取AB的中点T，连接CT，过点C作CH⊥AB于点H．
∵∠ACB＝90°，AT＝TB，AB＝2，
∴CT＝AB＝1，
∴S△ACB＝×AB×CH≤×AB×CT＝1，
∴△ACB的面积的最大值为1；
（2）如图2中，过点D作DH⊥AB于点H，
∵DA＝DB＝2，DH⊥AB，AB＝2，
∴AH＝HB＝，
∴cs∠DAB＝，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DH＝AD＝1，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴点C在D为圆心，DA为半径的圆上运动，
当点C运动到C′时，△ACB的面积最大，此时C′，D，H共线，
∴△ACB的面积的最大值＝×2×3＝3；
（3）点D的运动轨迹长度为定值，理由如下：
如图3中，以AB为边向下作等边△AOB，以O为圆心，OA为半径作⊙O，在⊙O上AB三点下方取一点K，连接AK，BK．
∵∠ACB＝120°，AD平分∠CAB，BD平分∠ABC，
∴∠ADB＝150°，
∵∠K＝∠AOB＝30°，
∴∠K+∠ADB＝180°，
∴A，K，B，D四点共圆，
∴点D的运动轨迹是，
∴点D的运动轨迹长度为定值，运动路径的长＝＝，
当点C在AB的下方时，同法可得点D的运动轨迹为，
综上所述，点D运动轨迹的长为．
25．【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c，
将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（t，﹣t2+2t+3），
∴过D点的直线DE的解析式为y＝﹣x﹣t2+3t+3，
∴E（﹣t2+3t+3，0），
∴AE＝﹣t2+3t+4，
∴＝，
当t＝时，有最小值，
∴有最小值，
此时D点横坐标为；
（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴G（1，4），H（1，0），
∵GH＝4，BH＝2，
∴tan∠BGH＝，
∵∠MBA＝∠BGH，
∴tan∠MBA＝，
过点M作MK⊥x轴交于K点，
∴＝，
∵M（m，﹣m2+2m+3），
∴MK＝|﹣m2+2m+3|，BK＝|3﹣m|，
∴|3﹣m|＝2|﹣m2+2m+3|，
解得m＝﹣或m＝﹣，
∴M（﹣，）或（﹣，﹣）；
②∵四边形MPNQ恰好为正方形，
∴MN⊥PQ，
∵M、N关于直线x＝1对称，
∴P、Q的横坐标为1，
∵M（m，﹣m2+2m+3），
∴N（2﹣m，﹣m2+2m+3），
∴MN＝|2﹣2m|，
∴|1﹣m|＝|﹣m2+2m+3|，
解得m＝或m＝．
声明：试题解析著作权属菁优
a
b
c
d
a
（b，a）
（c，a）
（d，a）
b
（a，b）
（c，b）
（d，b）
c
（a，c）
（b，c）
（d，c）
d
（a，d）
（b，d）
（c，d）