福建省泉州市永春县重点中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（含答案）

这是一份福建省泉州市永春县重点中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
2.若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A.9B.12C.7或9D.9或12
3.科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，中，，为上一点，于点，下列说法中，错误的是（ ）
A.中，是上的高B.中，是上的高
C.中，是上的高D.中，是上的高
5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（ ）
A.三条角平分线的交点处B.三条中线的交点处
C.三条高的交点处D.三条边的垂直平分线的交点处
6.如图，一条笔直的河，牧马人从地出发，到河边处饮马，然后到地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A.B.
C.D.
7.下列各式，，，，，中，分式有（ ）
A.3个B.4个C.5个D.6个
8.已知，，则代数式的值是（ ）
A.6B.C.D.
9.下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，在中，，平分，于点，有下列结论，①；②；③平分；④；其中结论正确的个数为（ ）
A.1B.4C.3D.2
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.化简______.
12.如图，已知，，，则的长是______.
13.中国古代数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字1出现的频数______.
14.将直线向下平移5个单位，得到直线______.
15.如图，在中，，分别以、为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为______.
16.点，点是双曲线上的两点，若，则______.（填“＝”、“＞”、“＜”）
三、解答题（9小题，共86分）
17.（8分）计算：
18.（8分）先化简，再求值：，其中，.
19.（8分）如图，点，，，在同一条直线上，，，.
证明：.
20.（8分）如图，是的外角，.
（1）请你用尺规作图的方法作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断与的位置关系，并说明理由.
21.（8分）某超市预测某饮料销售前景乐观，用1600元购进一批该种饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这种饮料第二批饮料的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵2元.
（1）第一批饮料的进货单价为多少元？
（2）如果两次购进饮料按同一价格销售两批全部售完后，获利不少于1200元那么销售单价至少为多少元？
22.（10分）如图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的示意图，请根据示意图回答下列问题：
（1）学生何时下车参观第一风景区？参观时间有多长？
（2）11:00时该车离开学校有多远？
（3）学生何时返回学校，返回学校时车的平均速度是多少？
23.（10分）某学校开展“感受劳动之美，共享劳动快乐”为主题的劳动教育周活动，小明随机调查了参与此次活动的若干名同学，统计了他们在本次活动中参加家务劳动的时间（单位：小时），并将获得的数据分成，，，四组，绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求小明随机调查的参与此次活动的学生共有多少人；
（2）求组所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）在此次劳动教育周活动中，求参加家务劳动时间不超过8小时的人数所占的百分比.
24.（13分）定义：若数可以表示成（，为自然数）的形式，则称为“希尔伯特”数.
例如：，，，…
所以3，39，147是“希尔伯特”数.
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数.
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3.
（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数.
25.（13分）已知中，.
（1）如图1，在中，若，且，求证：；
（2）如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长；
（3）如图3，在中，当垂直平分于，且时，试探究，，之间的数量关系，并证明.
图1 图2 图3
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.解：，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选：B.
2.解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12.故选：B.
3.解：，
故选：C.
4.解：A.中，是上的高，说法正确，不符合题意；
B.中，是上的高，说法正确，不符合题意；
C.中，是上的高，说法正确，不符合题意；
D.中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D.
5.解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点.
故选：A.
6.解：使牧马人所走路径最短的是，故选：D.
7.解：下列各式，，，，，中，是分式的有：，，，
共有3个，故选：A.
8.解：∵，
∴当，时，
原式，故选：C.
9.解：A.中，此选项不符合题意；
B.中，此选项符合题意；
C.中，此选项不符合题意；
D.中，此选项不符合题意；
故选：B.
10.解：在中，，
平分，，
∴，
故①正确；
在与中，，
∴，
∴，，
∴平分，
故③正确；
∵，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
故④正确，
∴结论正确的个数为4，
故选：B.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.解：.
故答案为：.
12.解：∵，∴，
即，∴，
∵，∴，
解得.
故答案为：5.
13.解：中国古代数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字1出现的频数是2，
故答案为：2.
14.解：原直线的，.向下平移5个单位长度得到了新直线，
那么新直线的，.
∴新直线的解析式为.
故答案为：.
15.解：在中，，
∴，
∵分别以、为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，
∴，，
∴，故答案为：4.
16.解：∵，若
∴.故答案为：＞.
三、解答题（9小题，共86分）
17.（8分）解：原式.
18.（8分）解：
，
当，时，原式.
19.（8分）证明：∵，∴，
∵，∴，
在和中，，
∴，∴.
∴20.（8分）解：（1）如图，为所作；
（2）.
理由如下：∵平分，∴，
，∴，
而，
∴，∴.
21.（8分）解：（1）设第一批饮料的进货单价为元，
则第二批饮料进货单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：第一批饮料进货单价是8元.
（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料200瓶，第二批购进该种饮料600瓶.
设销售单价为元，
依题意，得：，
解得：.
答：销售单价至少为11元.
22.（10分）解：（1）由图形可得学生9点第一次停下参观，参观的时间为9点至10点0，共1.5小时.
（2）根据10点30分的距离为40千米，11点30分的距离为90千米，车又是匀速前进，
从而可得出11：00时该车离开学校千米.
（3）学生14时开始返回，返回的速度为千米/小时.
23.（10分）解：（1）（人），
答：这次被调查的总人数是50人；
（2）A组的扇形圆心角的度数为：，
C组：（人），如图所示：
（3）.
答：家务劳动时间不超过8小时的人数所占的百分比为92%.
24.（13分）解：（1）∵，，，
，，，
∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；
（2）设“希尔伯特”数为
.（为自然数）
∵，
∵能被4整除，
∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3.
（3）设两个“希尔伯特”数分别为：
和
.
（，为自然数）.
由题意：
∴，
∴，
可得整数解：或，
∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679.
25.（13分）解：（1）如图1，证明：
图1
∵，
∴，
即.
在与中，，
∴，
∴；
（2）连接，
图2
∵垂直平分，∴，
∵，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）如图，将线段沿方向平移到的位置，连结、，
图3
由平移的特征得，，，.
设，，
则，
，，
，
∴，
在和中，，
∴，∴，
而，∴.