贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高三下学期一模考试数学试题

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1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2B．1C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．1
C．D．
4．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（ ）
A．60棵B．100棵C．144棵D．160棵
5．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ）
A．9B．7C．5D．4
6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ）
A．1.12B．1.13
C．1.14D．1.15
7．某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递增数列
B．数列的前项和为
C．数列的通项公式为
D．数列不是递增数列
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件
11．已知函数满足：，，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是奇函数
D．函数在上单调递减
12．如图，正方体的棱长为1，是线，段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．的最小值为
C．平面
D．当直线与所成的角最大时，四面体的外接球的体积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．二项式的展开式中含的系数为______．
14．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的60%，40%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．
15．如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为______．
16．已知直线与抛物线交于，两点，抛物线的焦点为，为原点，且，于点，点的坐标为，则______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
记的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）．求；
（2）若，，求的面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数忘了记录，但知道，（，分别表示小明、小红第天的成功次数）．
（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值．
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
参考数据：；．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，．
（1）证明：；
（2）若且的面积为，求与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为4．
（1）求的标准方程；
（2）已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，证明：点在定直线上．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
序号
1
2
3
4
5
6
7
小明成功次数
16
20
20
25
30
36
小红成功次数
16
22
25
26
32
35
35