11.5反比例函数与一次函数的交点问题(重难点培优)-苏科版八年级下册数学尖子生同步培优练习（含答案解析）

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第11章 反比例函数11.5反比例函数与一次函数的交点问题(重难点培优)姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与双曲线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为　　A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为　　A． B．4 C． D．63．已知一次函数与反比例函数，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是　　A．或 B．或 C．或 D．4．反比例函数与正比例函数一个交点为，则另一个交点是　　A． B． C． D．5．如果反比例函数的图象与正比例函数的图象有交点，那么该反比例函数的图象在　　A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限6．如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，的图象交于点、，若，则的值是　　A．3 B．4 C．5 D．67．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，将线段沿轴方向向右平移5个单位长度得到线段，与双曲线交于点，点在线段上，连接，，若四边形是菱形，则的值为　　A．32 B．24 C．12 D．88．如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2个单位长度后，与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的值为　　A． B． C． D．9．如图，正比例函数，一次函数和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中，若，则自变量的取值范围是　　A． B．或 C． D．或10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连接，．若的面积是的面积的2倍，则的值是　　A．6 B．12 C．2 D．4填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．设直线与双曲线相交于，、，两点，则的值为　　．12．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为　　．13．如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点．则在第一象限内，当时的取值范围是　　．14．如图，一条直线经过原点，且与反比例函数交于点、，过点作轴，垂足为，连接，若的面积为2，则的值为　　．15．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于，两点．若点，的纵坐标分别是，，则的值是　　．16．已知双曲线与直线交于点，，，．若时，，则　　0（填“”、“”或“”．17．如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴相交于、两点，则线段的长度为双曲线的对径．若双曲线的对径是8，则　　．18．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是．下列结论：①；②当时，；③随的增大而增大；④以双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是，其中不正确的是　　（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．（1）　　，　　；（2）结合图象直接写出不等式的解集．20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点．（1）求反比例函数的解析式；（2）写出当时，关于的不等式的解集．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于，两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）请根据图象直接写出不等式的解集．22．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为．（1）求，，的值；（2）直接写出关于的不等式的解集；（3）若在轴上，的面积是6，求点坐标．23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点．（1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；（2）当，时，直接写出自变量的取值范围为　　；（3）点是轴上一点，当时，请直接写出点的坐标为　　．24．如图，直线分别与轴，轴相交于，，与反比例函数的图象相交于点，作轴于，已知的面积为9．（1）请分别求出直线与反比例函数的表达式；（2）将直线向下平移，平移后的直线与轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴于，如果的面积是的面积的2倍，求点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的对称性求解．【解答】解：直线与双曲线关于原点成中心对称，点，点关于原点成中心对称，，，故选：．2．D【分析】将点坐标代入即可得到结果．【解答】解：函数与的图象交于点，，故选：．3．B 【分析】观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象的下方，即．【解答】解：根据题意得：当时，的取值范围是或，当时，的取值范围是或．故选：．4．A 【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，反比例函数与正比例函数的另一个交点与点关于原点对称．【解答】解：反比例函数与正比例函数一个交点为，另一个交点与点关于原点对称，另一个交点是．故选：．5．A 【分析】根据正比例函数的性质得到直线经过一、三象限，若反比例函数的图象与正比例函数的图象有交点，则反比例函数的图象在第一、三象限．【解答】解：由正比例函数可知，直线经过一、三象限，反比例函数的图象与正比例函数的图象有交点，反比例函数的图象在一、三象限，故选：．6．C【分析】设一次函数的图象与坐标轴交于、，则，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的对称性，反比例函数的对称性即可求得，进一步求得，根据待定系数法即可求得的值．【解答】解：设一次函数的图象与坐标轴交于、，，，直线关于直线对称，反比例函数为常数，的图象关于直线对称，，，，，，作轴于，则是等腰直角三角形，，，，点在反比例函数为常数，的图象上，，故选：．7．A【分析】设点的坐标为，由，求出点的坐标，即可求解．【解答】解：对于，令，则，故点的坐标为，由题意得：，四边形是菱形，则，设点坐标为，则，解得，（舍去，点的坐标为点的坐标为，将点的坐标代入得，故选：．8．A 【分析】分别过点、作轴于，轴于，于，再设，，由于，得出，再根据反比例函数中为定值列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标，即可求得的值．【解答】解：分别过点、作轴于，轴于，于，设，，，，轴，，，点在直线上，，点、在双曲线上，，解得，点的坐标为，，．故选：．9．B 【分析】根据图象，找出双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，所以若，则自变量的取值范围是或．故选：．10．B【分析】求出直线与轴的交点的坐标和直线与的交点的坐标，再由的面积与的面积相等，列出的方程，便可求得的值．【解答】解：令，得，，，把代入得，，解得，，，，轴，，的面积是的面积的2倍，，，或（舍去）．经检验，是原方程的解．故选：．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11． 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故，，再代入，由得出答案．【解答】解：由图象可知点，，，关于原点对称，即，，把，代入双曲线得，则原式．故答案为：．12． 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．【解答】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，则不等式的解集是或．故答案为：或．13． 【分析】把，两点分别代入即可求得、的值，即可求得、的坐标，根据图象即可求得．【解答】解：一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点，，，，，，，由图象可知，在第一象限内，当时的取值范围是，故答案为：．14． 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知、两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于1，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值．【解答】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，、两点关于原点对称，，的面积的面积，又是反比例函数上的点，且轴于点，的面积，，，．故答案为2．15． 【分析】由于直线与反比例函数的图象关于原点对称，即可证得直线与反比例函数的图象的交点关于原点对称，从而得出．【解答】解：直线与反比例函数的图象关于原点对称，点，点关于原点对称，，故答案为：0．16． 【分析】由题意得方程的两个根为，，根据根与系数的关系以及，即可判断，．【解答】解：由题意得方程的两个根为，．，，即，、异号，，，，，，，．故答案为：．17． 【分析】根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为8，即，，根据等腰直角三角形的性质得到点坐标为，，把的坐标代入双曲线即可得到的值．【解答】解：双曲线的对径为8，即，，，点坐标为，，把，代入双曲线得，即的值为8，故答案为8．18． 【分析】把交点的横坐标代入一次函数中求出交点坐标，再代入反比例函数中求得，即可判断②；作出函数图象，通过图象观察，即可判断②③；联立两个函数解析式的方程组，解方程组求得交点坐标，并求得直线与轴的交点，利用三角形面积公式求得构成三角形的面积是，即可判断④．【解答】解：把代入中，得，交点为，把代入比例函数中，得，故结论①正确；把代入，解得，如图：由图象可知，当时，，故结论②正确；在每个象限内，随的增大而减小，故结论③错误；联立方程组，解得，或，交点坐标为：和，直线与轴的交点，双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为：，故结论④正确；故答案为③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19． 【分析】（1）先把，分别代入反比例函数解析式可求出、，于是确定点坐标为，点坐标为，然后利用待定系数法求直线的解析式；（2）根据、的坐标，观察图象即可求得．【解答】解：（1）把，分别代入得，，解得，；故答案为2，2；（2），，观察图象，不等式的解集是或．20． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点的坐标，再由点的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）两解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据两函数图象的上下关系即可得出不等式的解集．【解答】解：（1）点在直线上，，，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；（2）由解得：或，，观察函数图象，当时，关于的不等式的解集是．21． 【分析】（1）由一次函数的图象过，，可求出点、的坐标，代入反比例函数关系式可求出反比例函数关系式；（2）求出一次函数的图象与轴、轴的交点、的坐标，进而将转化为即可；（3）根据两个函数图象交点坐标及两个函数图象所占的位置直观得出不等式的解集．【解答】解：（1）一次函数的图象过，，，，即，，，又反比例函数的图象过点、点，，反比例函数；（2）一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，，，，答：的面积为8；（3）根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标可知，不等式的解集为或．22．【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可求的值，再将点坐标代入反比例函数解析式可求的值；（2）由（1）知、的坐标，然后根据函数的图象即可求得不等式的解集．（3）由直线解析式求得直线与轴的交点坐标，然后设出的坐标，根据三角形面积公式得到，解得的值，即可求得点的坐标．【解答】解：（1）将代入中得：，，再将代入函数中，，将代入中得：，综上，，，；（2）由（1）得：，，由图象易知：或；（3）在中令，解得，则直线与轴的交点是，设点的坐标是，如图所示：的面积是6，，则，解得：或，则点的坐标是或．23．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）先求得的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到，求得，即可求得的坐标．【解答】解：（1）将，代入得，解得，一次函数为，将代入得，解得，反比例函数的解析式为；（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或，故答案为或；（3）由题意可知，，把代入得，，解得，，，，，，即，，或，故答案为或．24． 【分析】（1）利用三角形面积即可求得的坐标，根据待定系数法即可求得函数的解析式；（2）设平移后的直线的表达式为，由平移可知，，根据相似三角形的性质即可求得的坐标，进而求得平移后的直线解析式，令，即可求得的坐标．【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，，，，反比例函数的表达式为，的面积为9，，，，点的坐标为，把点，代入得，解得：，一次函数的表达式为；（2）设平移后的直线的表达式为，点的纵坐标为，由题意可知，，的面积是的面积的2倍，，，代入得，，，代入得，，，，令，得，点的坐标为，