广东省深圳市南山区南外集团文华学校2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份广东省深圳市南山区南外集团文华学校2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共24页。试卷主要包含了在中，，，，则的值为等内容，欢迎下载使用。

1．在中，，，，则的值为
A．B．C．D．
2．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为
A．B．C．D．
3．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是
A．B．C．D．
4．如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为 米
A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点，那么的值为
A．B．C．2D．
6．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A．B．C．D．
7．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是图中的
A．B． C．D．
8．如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为
A．B．C．D．
9．如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，对称轴为直线，经过点，且与轴的交点在点与之间．下列判断中，正确的是
A．B．C．D．
10．如图，抛物线交轴于点，交过点且平行于轴的直线于另一点，交轴于，两点（点在点右边），对称轴为直线，连接，，．若点关于直线的对称点恰好落在线段上，下列结论中错误的是
A．点坐标为B．
C．D．
二．填空题（每题3分，共15分 ）
11．已知，在二次函数的图象上，比较 （填、或
12．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡长，斜坡的坡比为．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移 时，才能确保山体不滑坡．（取
13．如图，是的直径，点、在上，，则 度．
14．如图，在圆中，弦，点在圆上与，不重合），连接、，过点分别作，，垂足分别是点、．若点到的距离为3，则圆的半径为_______．
15．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．若在直线上方的抛物线上存在点，使，则点的坐标为_______．
三．解答题（共7小题）
16．（6分）计算：
（1）；（2）．
17．（6分）如图，在中，弦与相交于点，，连接，，求证：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知二次函数．
（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，设抛物线与轴交点为，抛物线的对称轴与轴交点为，求四边形的面积．
19．（8分）深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量（个与销售单价（元之间的关系可以近似的看作一次函数，设每月的利润为（元（利润销售额投入）．
（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？
（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
20．（8分）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：，若时，；若时，．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）
①随的增大而增大；②该函数图象关于轴对称；
③当时，函数有最小值为；④该函数图象不经过第三象限．
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
①若函数值，则 ．
②若关于的方程有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出的取值范围是 ．
21．（9分）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：；
；
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底距离7米的处，测得塔顶的仰角为，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，
22．（10分）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的横坐标及的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在中，，，，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，，
故选：．
2．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故选：．
3．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是
A．B．C．D．
【解答】解：将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即．
故选：．
4．如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为 米
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点作于点．
米，．
．
故选：．
5．如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点，那么的值为
A．B．C．2D．
【解答】解：由图可得：，
所以的值，
故选：．
6．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得：
某人爬了，该坡角为，则他耗能，
故选：．
7．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是图中的
A．B．
C．D．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，由二次函数的图象可知，，两结论矛盾，不符合题意；
、由一次函数的图象可得：，，由二次函数的图象可知，，，两结论矛盾，不符合题意；
、由一次函数的图象可得：，，由二次函数的图象可知，，，两结论一致，符合题意；
、由一次函数的图象可得：，，由二次函数的图象可知，，，两结论矛盾，不符合题意．
故选：．
8．如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
和所对的弧都是，
，
，
．
故选：．
9．如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，对称轴为直线，经过点，且与轴的交点在点与之间．下列判断中，正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：对称轴为直线，经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
△，
，故选项错误；
，
，
，故选项错误；
抛物线的开口向上，
，
当时，，当时，，
，
，
，故选项错误；
抛物线与轴的交点在点与之间，
，
当时，，
，
，
，
，
，故选项正确，
故选：．
10．如图，抛物线交轴于点，交过点且平行于轴的直线于另一点，交轴于，两点（点在点右边），对称轴为直线，连接，，．若点关于直线的对称点恰好落在线段上，下列结论中错误的是
A．点坐标为B．
C．D．
【解答】解：抛物线交轴于点，
，
对称轴为直线，轴，
．
故无误；
如图，过点作轴于点，
则，，
轴，
，
点关于直线的对称点恰好落在线段上，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
对称轴为直线，
在中，，，
，
，
故无误；
设，
将代入得：，
，
故无误；
，，
，
故错误．
综上，错误的只有．
故选：．
二．填空题（共3小题）
11．已知，在二次函数的图象上，比较 （填、或
【解答】解：由抛物线可知对称轴，
抛物线开口向上，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
故答案为：．
12．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡长，斜坡的坡比为．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移 10 时，才能确保山体不滑坡．（取
【解答】解：在上取点，使，过点作于，
，，，
四边形为矩形，
，，
斜坡的坡比为，
，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
，，
，
在中，，
，
，
坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
13．如图，是的直径，点、在上，，则 120 度．
【解答】解：是所对的圆周角，
，
．
故答案为：120．
14．如图，在圆中，弦，点在圆上与，不重合），连接、，过点分别作，，垂足分别是点、．若点到的距离为3，则圆的半径为_______．
【解答】过点作，垂足为点，，连接，
经过圆心，
，
，
，
在中，，
，即圆的半径为5．
15．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．若在直线上方的抛物线上存在点，使，则点的坐标为_______．
【解答】（1）把，代入抛物线解析式得：，
解得，故抛物线的解析式为．
令，解得或4，故，
由、的坐标得：，
，所在直线与所在直线关于轴对称，则，
联立，解得（舍去），，
则点坐标为．
三．解答题（共7小题）
16．计算：（1）；（2）．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式．
17．如图所示，中，弦与相交于点，，连接，，求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
．
（2），
，
，，
，
．
18．已知二次函数．
（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，设抛物线与轴交点为，抛物线的对称轴与轴交点为，求四边形的面积．
【解答】解：（1），
该函数图象顶点坐标为；
（2）如图，
令，，
，
，
，
四边形的面积．
19．深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量（个与销售单价（元之间的关系可以近似的看作一次函数，设每月的利润为（元（利润销售额投入）．
（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？
（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
【解答】解：（1）由题意得，，
解得：，．
答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；
（2）由题意：，
解得，
，
函数的对称轴，开口向下，
时利润最大，最大利润为60000元．
答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为800元．
20．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：，若时，；若时，．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 ③④ ；（填序号）
①随的增大而增大；
②该函数图象关于轴对称；
③当时，函数有最小值为；
④该函数图象不经过第三象限．
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
①若函数值，则 ．
②若关于的方程有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出的取值范围是 ．
【解答】解：（1）画出图象，根据图象可知，
①当时，随的增大而增大，故错误；
②该函数图象关于轴不对称，故错误；
③当时，函数有最小值为，正确；
④该函数图象不经过第三象限，正确；
故答案为：③④．
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象，
①当时，；
当时，，
若函数值，则或，
故答案为：3或；
②关于的方程有两个互不相等的实数根，
可以看成是和有两个交点．
是一次函数，与轴的交点为，
当时，满足两个交点的条件．
若将向下平移与图象有两个交点，则．
方程为，即．
△，
，
．
故答案为：或．
21．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底距离7米的处，测得塔顶的仰角为，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，
【解答】
解：（1）；
（2）在中，，，米，
．
，
米，
（米．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
22．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的横坐标及的最大值．
【解答】解：（1）将点、、代入，
得，解得：，；
（2）设直线交于点，设直线的解析式为，
，解得：，，
设，则，
则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积有最大值，此时点；
（3）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，，
设，则，
，
，，，
，
当时，有最大值，，
即点的横坐标为3，有最大值．