河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了已知数列，则是这个数列的，已知曲线，已知实数满足，则的最大值是，已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列，则是这个数列的（ ）
A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项
2.已知曲线：与轴交于两点，是曲线上异于的点，若直线斜率之积等于，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.已知实数满足，则的最大值是（ ）
A. B.4 C. D.7
4.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，）
A.236 B.246 C.270 D.275
5.正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
7.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小虫蜂不同的飞行方式有（ ）
A.22 B.24 C.26 D.28
8.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共4小远，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.一个无穷数列的前三项是，下列可以作为其通项公式的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在正四棱柱中，是的中点，，则（ ）
A.
B.平面
C.二面角的余弦值为
D.到平面的距离为
11.某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生；乙组有7名选手，其中4名男生，3名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则下列结论正确的是（ ）
A.是对立事件 B.
C. D.
12.如图，已知椭圆的左､右顶点分别是，上顶点为，点是椭圆上的一点（不同于），直线与直线交于点，直线交直线于点（是坐标原点），记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.的最小值为
D.的最大值为
三､填空题：本小题共4小愿，每题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
14.已知数列是递增数列，则的取值范围__________.
15.已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则__________.
16.已知是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点.若直线过椭圆右焦点，且，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知点，直线.
（1）若，且过点，求直线的方程；
（2）若点在直线上，求数列的前项和.
18.已知二项式.
（1）若，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项.
19.如图在四棱锥中，底面四边形内接于圆，是圆的一条直径，平面为的中点，
（1）求证：平面
（2）若二面角的正切值为2，求直线与平面所成角的正弦值
20.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲､乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列､数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
21.张先生2021年年底购买了一辆排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.
（1）张先生估计第一年（即2022年）会用车1.2万公里，以后逐年会增加1000公里，则该轿车使用10年共排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即2022年）生长了1立方米，以后每年以的生长速度递增，问林木至少生长多少年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量（参考数据：）？
22.已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的方程；
（2）点在上，且为垂足.证明：存在定点，使得为定值.
2024年高二下学期开学考试（数学答案）
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B
2.A
【详解】依题意，，设点，则有，
即，
由直线斜率之积等于，得，
即，
显然曲线是焦点在轴上的椭圆，，
所以的离心率为.故选：A
3.C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故的最大值是，
法二：，整理得，
令，其中，
则，
，所以，则，即时，
取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
4.B
【详解】由题可知，，
所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天.
故选：B.
5.C
6.D
7.B
【详解】经过4次飞行，停在位于数轴上实数3的点处，
设向右飞行1个单位为事件，向右飞行2个单位为事件，
情况一，满足要求，此时只需安排好，故不同的飞行方式为种，
情况二，满足要求，此时只需安排好，故不同的飞行方式为种，
综上，小蜜蜂不同的飞行方式有种.故选：B
8.【答案】D
【详解】已知双曲线的渐近线方程为，
双曲线右焦点到渐近线的距离为，
在中，，所以，
设，则，
因为，所以，
所以，所以，
在Rt中，，
所以，即，即，
所以.故选：D
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.AD
【解析】对于，若，则，符合题意；
对于，若，则，不符合题意；
对于，若，当时，，不符合题意；
对于D，若，则，符合题意.
故选：AD.
10.BCD
【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
对于，则，
所以不垂直，故A错误；
对于，所以，
所以，是平面的一个法向量，即平面，故B正确；
对于，易知平面的一个法向量，
而，
所以二面角的余弦值为，故C正确；
对于D，到平面的距离，故D正确.故选：BCD.
11.ABD
【详解】选项：根据对立事件的概念可知，是对立事件，正确；
B选项：由题意可知，正确；
选项：当发生时，乙组中有5名男生，3名女生，其中抽取的不是1名女生有5种可能情况，则错误；
D选项：，D正确.故选：ABD
12.ABD
【详解】由椭圆，可得，设点且，
，
所以，
又点是椭圆上的一点，则，化简得，即，
故，则正确；
直线的方程为，
因直线与直线交于点，所以，由得.
，由，得，
因为，所以，故B正确；
记，则，
所以在中，，
由余弦定理可得
（其），
所以，当且仅当时，所以的最小值为，故错误；
记且，则，
，
所以，
当时，，由基本不等式，则
，当且仅当时取等号；
当时，，由基本不等式，则
，即当且仅当
时取等号.
综上所述，的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本小题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.64
14.
15.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
16.
【详解】由题，，设.
则，又点在双曲线上，则
.
，又点在椭圆上，则
.
注意到，则
.
即直线与直线关于轴对称，又椭圆为轴对称图形，则两点关于轴对称，故.
设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线过椭圆右焦点，则，将其代入椭圆方程可得.
则，又，则
.
则
故答案为：.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【答案】
（1） （2）
【详解】（1）因为直线，所以直线的斜率为，
又因为过点，所以方程为，即.
（2）因为点在直线1上，所以，
因为，所以为等差数列，
所以.
18.（1）2
（2）
【详解】（1）因为，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为2.
（2）因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为
，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
19.【详解】（1）连接，
面，且面面，
是圆的一条直径，为的中点，，
面，且面面，
面面面.
面面，
（2）底面四边形内接于圆是圆的一条直径，
，
平面，且平面，
，且面面，
面，
为二面角的平面角，
二面角的正切值为，
建立以为坐标原点，，及垂直于平面的直线分别为轴的空间直角坐标系如图：
结合题意易得：，
设平面的法向量为，
，即，令，则，
直线与平面所成角的正弦值
20.【解】（1）记“甲､乙两家公司共答对2道题”的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件､甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有，所以甲､乙两家公司共答对2道题目的概率是.
（2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为，
，
则的分布列为：
期望，
方差.
（3）方法一：设乙公司答对题数为，则的取值分别为，
，
，
则的分布列为：
期望，
方差，
显然，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
方法二：设乙公司答对题数为，则
期望
方差，
显然，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
21.解（1）设第年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，
则，显然其构成首
项为，公差为的等差数列，
所以，
即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.
（2）记第年林木吸收二氧化碳的吨数为，
则
其构成首项为，公比为的等比数列，
记其前项和为，
由题意，有，
解得.
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量.
22.解（1）由题设得，
解得，所以的方程为.
（2）设.
若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得.
于是.
由知，
故，
可得.
整理得.
因为不在直线上，所以，
故.
于是的方程为.
所以直线过点.
若直线与轴垂直，可得.
由得.
又，可得.
解得（舍去），.
此时直线过点.
令为的中点，即.
若与不重合，则由题设知是Rt的斜边，
故.
若与重合，则.
综上，存在点，使得定值.0
1
2
3
0
1
2
3