河南省信阳市浉河区信阳市第九中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列交通指示标识中，不是轴对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可．
【详解】解：只有第三个图形不是轴对称图形，不是轴对称图形的有1个，
故选：A．
2. 据了解，某一新冠病毒的直径大约为，已知．其中用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：根据科学记数法要求，的小数点从原位置移动到8后面，动了有8位，从而用科学记数法表示为，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据多项式除以单项式、合并同类项、积的乘方以及平方差公式进行计算即可．
【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意；
B、与不是同类项，不能进行合并，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式、合并同类项、积的乘方以及平方差公式；掌握相关运算法则正确计算是解题的关键．
4. 如图，与的边、在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．由题意可得，，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
A、可得，使，全等的依据是“”，不符合题意，选项错误；
B、不能证明，
C、，使，全等的依据是“”，不符合题意，选项错误；
D、，使，全等的依据是“”，符合题意，选项正确，
故选：D
5. 等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（ ）
A. B. C. 或D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据两个非负数的和为零，从而可求得a与b的值，从而可求得等腰三角形的周长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴等腰三角形的两腰长不可能是3，
∴等腰三角形的两腰长为6，底边长为3，
从而其周长为，
故选：B．
6. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和定理，设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和为得到方程，解方程求出，再根据多边形外角和为360度即可求出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的一个外角等于，
故选：C．
7. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小．
【详解】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题意可知，
∴；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知，
∴．
综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或，
故选：D．
8. 若是一个关于的完全平方式，那么k值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
9. 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10. 如图，中，于点D，过点A作且，点E是上一点且，连接．连接交于点G．下列结论中正确的有（ ）个．
①；②；③平分；④；⑤．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，则，可证明，得，可判断①正确；由，得，则，可判断②错误；再证明，则平分，可判断③正确；由，可推导出，可判断④正确；作交于点H，可证明，得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
【详解】∵于点D，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
∵
，
∵
∴，
∴，
故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
故③正确；
∵，
∴，
故④正确；
作交于点H，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知分式的值为0，那么x的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分别对分子和分母进行求解，最后确定答案即可．
【详解】由题可得：，
解得：或，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，熟记分子为0而分母不为0是分式值为0的条件是解题关键．
12. ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
分别计算绝对值，乘方，负指数幂和零指数幂，再算加减法．
【详解】解：
=
=
=，
故答案为：．
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是________．
【答案】15
【解析】
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝3，可得结论．
【详解】如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝3，
∴S△ABD＝AB×DH=×10×3＝15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
14. 如图， 中，，， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为____度．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明 ，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
点在的垂直平分线上，
，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
15. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小．
【详解】解：连接
∵均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E在射线上运动（），
作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，
，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值是
故答案为：
三、解答题（共8小题，75分）
16. （1）
（2）解方程：；
【答案】（1）；（2）原方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，解分式方程：
（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
17. 先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【答案】，当x=2时，原分式的值为
【解析】
【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．
【详解】解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
【点睛】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
18. 已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，延长DA交BC于点F．求证：DF⊥BC．
【答案】见解析
【解析】
分析】利用HL证明Rt△AED≌Rt△CEB，得到∠ADE=∠CBE，推出∠ADE+∠C=90°，即可得到结论．
【详解】证明：∵BE⊥CD，
∴∠AED=∠BEC=90°，
在Rt△AED与Rt△CEB中，
．
∴Rt△AED≌Rt△CEB(HL)，
∴∠ADE=∠CBE，
∵∠CBE+∠C=90°．
∴∠ADE+∠C=90°．
∴DF⊥BC．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在小正方形网格的格点上．
（1）画出关于x轴的对称图形（点A、B、C的对应点分别为），则（________）（________）（________）
（2）在第二象限内的格点上找点D，连接AD，DB，使得，并写出点D的坐标．
（3）求出面积．
【答案】（1）；；
（2）或
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形面积
【小问1详解】
解：根据题意，确定，，的位置如图所示，然后顺次连接，即为所求；
∴
故答案为：；；
【小问2详解】
解：如图，
取，连接，，
∵为小正方形对角线，
∴；
取，连接，，
由图得，，
∴；
∴点D的坐标为或．
【小问3详解】
解：．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题关键．
20. 今年冬季支原体肺炎流行高发，我区某药品公司接到生产1200万盒某种治疗药品的任务，马上安排了甲乙两个车间生产药品．试产时，甲车间的日生产数量是乙车间日生产数量的倍，各生产100万盒，甲比乙少用了2天．
（1）求甲乙两生产车间的日生产数量各是多少？
（2）若甲乙两生产车间每天的运行成本分别是万元和万元，要使完成这批任务总运行成本不超过25万元，则最少要安排甲生产车间生产多少天？
【答案】（1）甲生产车间每天的生产的数量是75万盒，乙生产车间每天生产的数量为万盒；
（2）最少要安排甲生产车间生产14天．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的实际应用和分式方程的实际应用，根据已知得出正确方程以及不等式是解题的关键．
（1）设乙生产车间每天生产的数量为盒，则甲生产车间每天的数量为盒，根据各生产100万盒，甲比乙少用了天列出方程即可求解；
（2）设安排甲车间生产天，根据完成这批任务总运行成本不超过25万元列出不等式计算即可求解．
【小问1详解】
解：设乙生产车间每天生产的数量为盒，则甲生产车间每天的数量为盒，由题意得
，
解得，经检验，是原方程的解，
，
答：甲生产车间每天的生产的数量是75万盒，乙生产车间每天生产的数量为万盒；
【小问2详解】
设安排甲生产车间生产天，由题意得
，
解得，
最少可安排甲生产车间生产14天．
21. 小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．

（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为
（2）小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m、宽为n的小长方形 个；
（3）动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
（4）拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求的值．
【答案】（1）
（2）1，2，3 （3）图见解析；
（4）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形在图形面积中的应用，
（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；
（2）根据多项式乘多项式法则将展开为，进而求解即可；
（3）根据题意画出图形，进而因式分解即可；
（4）根据题意得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可．
熟练运用完全平方公式和数形结合思想通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意可得，
大矩形面积可以表示为，
也可以表示为，
∴
∴代数式可以因式分解为；
【小问2详解】
根据题意可得，
∴需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个；
【小问3详解】
依据拼图，

∴；
【小问4详解】
由题意得：，
∴
∴，
∴
∴
又∵，
∴．
22. （1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：；
（2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求长．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）由，得，则，由，得，所以，而，，即可根据“”证明，则；
（2）在上截取，连接，可证明，得，，则，根据平行线的性质得，则，所以，则．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
∵，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
的长是2．
【点睛】此题重点考查等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23. 如图1，已知A(a，0)，点B(0，b)，且a、b满足
⑴求A、B两点的坐标；
⑵若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，求点A作AD⊥OC于点F，求证：FA＝FC．
⑶如图2，若点D的坐标为(0，1)，过点A作AE⊥AD，且AE=AD,连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．
【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）见解析；（3）G（，0）.
【解析】
【分析】（1）首先根据非负数是性质求得a=4，b=4，则易求点A、B的坐标；
（2）如图1，作BE⊥CO于于E，可以得出△BEO≌△OFA，可以得出BE=OF，OE=AF由等腰三角形的性质就可以得出BE=CE，CE+EF=OF+EF就可以得出结论；
（3）如图2，作EF⊥x轴于F，就可以证明△AOD≌△EFA，就可以得出AO=EF，DO=EA，再证明△BOG≌△EFG，可以得出OG=FG就可以得出结论．
详解】解：⑴(1)∵a、b满足，
∴a−4=0，4−b=0，
则a=4，b=4，
∴A、B两点的坐标分别是：A(4,0)点B(0,4)；
⑵(2)如图1，作BE⊥CO于于E，
∴∠BEC=∠BEO=90°.
∵A(40)，B(0,4)，
∴OA=OB=4.
∵AD⊥OC，
∴∠AFO=90°，
∴∠AOF+∠OAF=90°.
∴∠BEO=∠OFA.
∵∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠BOE=∠OAF.
在△BEO和△OFA中，

∴△BEO≌△OFA(AAS)，
∴BE=OF，OE=AF.
∵∠OCB=45°，
∴∠EBC=45°，
∴∠EBC=∠BCE，
∴BE=CE.
∴OF=CE，
∴OF+EF=CE+EF，
∴OE=CF，
∴AF=CF；
(3)如图2，作EF⊥x轴于F，
∴
∴
∵AE⊥AD，
∴
∴∠DAO=∠AEF.
在△AOD和△EFA中，

∴△AOD≌△EFA(AAS).
∴AO=EF，OD=AF.
∴BO=EF.
在△BOG和△EFG中

∴△BOG≌△EFG(AAS)，
∴OG=FG.
∵D(0,1)，
∴OD=1，
∴AF=1，
∴OF=3，
∴OG=1.5.
∴G(1.5,0)
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.