四川省宜宾市第六中学校2024届高三上学期期末数学（文）试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意确定集合B，求出，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
则，故，
故选：C
2. 若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求得复数，继而求得共轭复数对应的点，即可判定.
【详解】因为，
所以，
则，其对应的点为，在第四象限，
故选：D.
3. 命题p：，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
4. 甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A. 甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B. 甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C. 甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D. 甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
【答案】C
【解析】
【分析】A.利用平均数公式求解判断；B.利用中位数定义求解判断；C.根据折线图的波动判断；D.利用极差的定义求解判断.
【详解】解：甲的数据：，乙的数据：，
A．甲投中个数的平均数为，
乙投中个数的平均数为，故错误；
B. 甲的数据从小到大排序为：，则中位数为，
乙的数据从小到大排序为：，则中位数为，故错误；
C. 由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正确；
D.甲投中个数的极差为10-6=4，乙投中个数的极差为：10-3=7，故错误，
故选：C
5. 一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列举出所有可能的结果，并找出其中符合题意的情况即可得解.
【详解】由题意设2个红球分别用表示，2个黑球分别用表示，1个白球用表示，
则取出的三个球的组合有以下种情形：
、、、、、、
、、、，
其中符号条件的有以下四种情形：
、、、.
因此从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为.
故选：D.
6. 记为等差数列的前项和，，则（ ）
A. 24B. 42C. 64D. 84
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质化简已知，即可求得的值.
【详解】因为为等差数列的前项和，
所以，若，则，
所以.
故选：B.
7. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据角的终边在直线上可得，利用二倍角余弦公式及同角三角函数的基本关系可得.
【详解】因为终边在直线上，
所以分别在第一象限、第三象限取点，,
，
，
故选：A
8. 平行四边形ABCD中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点），则的值是（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量加减法、数乘的几何意义有，应用数量积的运算律展开，即可求值.
【详解】由题设，得如下示意图，，，又，，
所以
.
故选：B
9. 若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，在上存在两个不等实根或者一根在，一根在，分类讨论对称轴的位置，结合二次函数的图象和性质，即可得出函数在上存在极小值点的条件，综合以上范围即得解．
【详解】因为，所以在上存在两个不等实根或者一根在，一根在．由于函数的对称轴为，所以，
当，即时，只需；
当时，由，只需，即；
当时，即时，只需
；
当时，在上无极小值点.
综上可知，实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的极值问题，涉及极值点存在的条件应用，实根分布以及二次函数的图象与性质的应用，意在考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用能力，属于中档题．
10. 已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.
【详解】因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.
不妨设.又四边形的面积为,故,
即,解得,故.故离心率为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.
11. 如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，不妨设，
则，
故，
，
设平面的法向量为，
则，可取，
则，
所以，
当时，，
当时，，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.
故选：A.
12 过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD，利用三角形相似关系可知丨AF丨＝丨AD丨，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．
【详解】抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，
∴，
则丨AF丨＝丨AD丨，
设直线AB的方程y（x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，
∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线，直线，若，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件求解．
【详解】因为，所以，解得．
故答案为：
14. 若函数是偶函数，则实数的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据偶函数定义，结合对数运算化简可得.
【详解】的定义域为R，
，
因为函数是偶函数，
所以，
所以恒成立，故，即.
故答案为：
15. 在中，角A，B，C的对边分别为，，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】化简可得，再根据三角恒等变换结合正弦定理求解即可.
【详解】则，
故，
故.
由正弦定理有，因为，则.
故答案为：2
16. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，由已知条件得在上是偶函数，然后根据其单调性从而可求解.
【详解】令，所以，
因为，所以，化简得，
所以在上偶函数，
因为，
因为当，，所以，在区间上单调递增，
又因为为偶函数，所有在上单调递减，
由，得，又因为，所以，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】通过构造函数，结合已知函数求出函数为偶函数和其单调性，从而求解.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 四户村民甲、乙、丙、丁把自己不宜种粮的承包土地流转给农村经济合作社，甲、乙、丙、丁分别获得所有流转土地年总利润7％，7％，10％，6％的流转收益.该土地全部种植了苹果树，2022年所产苹果在电商平台销售并售完，所售苹果单个质量（单位：g，下同）在区间［100，260］上，苹果分装在A，B，C，D4种不同的箱子里，共5000箱，装箱情况如下表.把这5000箱苹果按单个质量所在区间以箱为单位得到的频率分布直方图如下图.
（1）根据频率分布直方图，求a和甲、乙、丙、丁2022年所获土地流转收益（单位：万元）：
（2）在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，求这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的概率.
【答案】（1）；1.89万元，1.89万元，2.7万元，1.62万元
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中小长方形面积之和为1求出a；求出2022年这批流转土地总利润，再根据甲、乙、丙、丁所占百分比求出甲、乙、丙、丁2022年所获土地流转收益；
（2）先求出甲、乙、丙、丁中随机抽取2户的所有可能情况，再求出这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的情况，由古典概率概率公式即可得出答案.
【小问1详解】
由图知.
根据表和图得2022年这批流转土地总利润为:
万元.
所以甲、乙2022年所获土地流转收益均为万元，丙2022年所获土地流转收益为万元，丁2022年所获土地流转收益为万元.
【小问2详解】
在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，所有可能结果为：
甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁6个结果情况，
其中甲丙，乙丙，丙丁中恰有1户土地流转收益超过2万元.
设事件M表示“这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元”，
则.
所以这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元概率为.
18. 如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，利用勾股定理证明，易得平面，再根据面面垂直判定定理即可证明；
（2）由（1）可证明为三棱柱高，利用同底等高的锥体与柱体的关系，通过割补法即可求解.
【小问1详解】
取的中点，连接，．
∵与均是边长为2的正三角形，
∴，，．
∴为二面角的平面角．
∵，∴，∴．
因为，，，平面
所以平面，又平面，
∴平面平面．
【小问2详解】
由（1）知，，．
∵，平面，平面，
∴平面．
∴为三棱锥的高．
∴．
∴四棱锥的体积为2．
19. 已知数列的前n项和为，，且数列为等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）定义：表示不超过x的最大整数．设，求数列的前114项和．
【答案】（1）
（2）683
【解析】
【分析】（1）根据题设条件可推得与的关系式，再利用推得，从而得出等差数列，求出其通项；
（2）根据的规定，将数列的项根据取到的相同的值进行分类再依次求和即得.
【小问1详解】
由数列为等差数列，且，，可得：数列的首项为：，公差为：，
故其通项为：，即：①，当时，②，
由①-②可得：，整理得：③，
当时，④，
由③-④可得：，
即：，故数列为等差数列，
因，其公差为，则.
【小问2详解】
由（1）得：，而，易得，
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：；
由可得：，因，故得：，
故得：.
20. 已知椭圆：()的焦距是，长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆的左右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程.
【答案】（1）.（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由题意求得与的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；
（2）设，，由已知可得，直线与轴不重合，设直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由面积关系可得，的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解，则直线方程可求.
【详解】（1）由题意，，，则，.
∴.
∴椭圆的方程；
（2）设，，
由已知可得，直线与轴不重合，设直线：.
联立，整理得.
.
，.
由，得，即，
从而.
解得，即.
∴直线的方程为：或.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时总是设出交点坐标，，设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，代入题中其他条件求解．
21. 已知且在上单调递增，.
（1）当取最小值时，证明恒成立.
（2）对，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用条件可得在恒成立，参变分离后可得，代入后构造函数解不等式即可；
（2）根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立，
即成立，参变分离后再构造函数即可得解.
【小问1详解】
由题意可知在上恒成立，
参变分离得，，
此时.
设，
，
令，令，
在上单调递增，在上单调递减.
恒成立，
【小问2详解】
，
当时，，，
在单调递增；
当时，，，
在单调递减；
，，，
在上的最小值为.
易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为
由题意可得，使得成立，
即成立.
由（1）可知，
参变分离得，设，，
即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上单调递减，在上单调递增.，
，又已知.故的取值范围为.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了恒成立问题和存在性问题，同时考查了数形结合、化归转化思想，计算量比较大属于难题.本题的关键点有：
（1）利用函数的单调性转化为恒成立问题求参数据范围；
（2）利用参变分离解决能成立和恒成立问题；
（3）构造函数解决最值问题.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的参数方程；
(2)若，直线与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）；（为参数）；（2）
【解析】
【分析】(1)先将直线的参数方程消去参数化为普通方程，再直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，即求出直线的极坐标方程；同样由直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而可求出曲线的参数方程；
(2)求出直线的参数方程的标准形式，然后利用参数的几何意义，即可求出的值.
【详解】(1)依题意，得直线，即，
所以直线的极坐标方程为.
因为，则，即.
所以曲线的参数方程为(为参数).
(2)因为直线经过点，
故直线的参数方程的标准形式为，代入，
可得，所以，，
所以.
【点睛】本题主要考查参数方程化为极坐标方程的互化，关键是掌握互化方法，同时考查直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数.
（1）求的最小值，并指出此时的取值范围；
（2）证明：等价于.
【答案】（1）的最小值为，对应
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得的最小值以及此时的范围.
（2）通过解不等式来求得正确答案.
【小问1详解】
，画出的图象如下图所示，
由图可知，的最小值为，对应.
【小问2详解】
由，得或，
解得或，
结合图象可知的解集为.
而，，
所以不等式的解集为.
所以等价于.
苹果箱种类
A
B
C
D
每箱利润（元）
40
50
60
70
苹果单个质量区间
[100，140)
[140，180)
[180，220)
[220，260]