浙江省余姚市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
3. 在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
5. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，为的中点，为的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值大小为（ ）
A B. C. D.
7. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，则下列各式中正确的选项为（ ）
A.
B.
C.
D
8. 设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（ ）
A. B.
C. D.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 直线在轴上截距是
B. 直线恒过定点
C. 点关于直线对称的点为
D. 过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为
10. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（ ）
A. B.
C. D. 数列共有84项
11. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 的最小值为5
C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为
D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16
12. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________．
14. 已知正项等比数列，，且，，成等差数列，则_______．
15. 若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可）
16. 已知函数有两个零点，求的取值范围______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
18. 已知的三个顶点，，．
（1）求边上中线所在直线的方程；
（2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
19. 已知数列的首项，且满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，求正整数的最大值.
20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，是边长为2的正三角形，，，.

（1）若平面，求的值；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当，证明：.
22. 已知椭圆过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点．