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广东省珠海市香樟中学2023-2024学年高一下学期开学收心练习数学试题 （原卷版+解析版）
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这是一份广东省珠海市香樟中学2023-2024学年高一下学期开学收心练习数学试题 （原卷版+解析版），文件包含精品解析广东省珠海市香樟中学2023-2024学年高一下学期开学收心练习数学试题原卷版docx、精品解析广东省珠海市香樟中学2023-2024学年高一下学期开学收心练习数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
说明：1.全卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号；用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上填写姓名、试室号、座位号，并用2B铅笔把答题卷上的对应号码涂黑.
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔货签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液等工具.不按以上要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卷的整洁；考试结束后请将试卷和答题卷一并上交给监考老师.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有量词的命题否定方法可得答案.
【详解】因为命题“”的否定是“”.
故选：B.
2. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由集合补运算求集合.
【详解】由，，则.
故选：C
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出定义域.
【详解】因为，所以且，
所以定义域为，
故选：C.
4. 若，则（ ）
A. 9B. 10C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】直接计算即可.
【详解】.
故选：C
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】.
故选：B
6. 已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数，
所以，“是偶数”“、都是偶数”，
“是偶数”“、都是偶数”，
故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件.
故选：B.
7. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值.
【详解】由题设，又.
故选：D
8. 16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，.则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间量进行大小比较.
【详解】因为函数单调递增，所以，
因为函数单调递减，所以，
因为单调递减，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质与反例排除法即可解题.
【详解】A选项采用反例排除：设，但，故A选项错误.
B选项利用不等式的性质：；
设
由不等式的性质可知：，即；故B选项正确.
C选项利用反例排除：当时，只能得出，故C选项错误.
D选项：若，故D选项正确.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. ，方程有实数根
C. 是4的倍数
D. 半径为3，且圆心角为的扇形的面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据存在量词命题的否定的知识可知，
“”的否定是“”，所以A正确；
因为，所以B正确；
当是偶数时，是奇数不是4的倍数，
当是奇数时，设，则，
所以不是4的倍数，所以C错误；
根据扇形的面积公式，可得，所以D错误.
故选：AB
11. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A. B. 为偶函数
C. 为单调递增函数D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由为幂函数可得，解得，
所以，故A正确，C正确；
由于，故为奇函数，故B错误；
的值域为，D错误，
故选：AC.
12. 关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 最小正周期是B. 图象关于点对称
C. 图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】CD
【解析】
【分析】由的周期性，对称中心，对称轴和单调区间，进而求出的对应性质，再逐一判断即可．
【详解】因为最小正周期为，故A显然正确；
因为的对称中心为Z，所以的对称中心为Z，故B正确；
因为无对称轴，所以也没有对称轴，C错误；
因为的增区间为 Z，所以的增区间为，即 Z，故D不正确．
故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知且，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
14. 重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的知识求得正确答案.
【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得.
故答案为：
15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.
【详解】因为的长度为，所以，，
所以勒洛三角形的面积是.
故答案为：.
16. 化简：________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角的三角函数关系式化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合，
（1）求
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合，再根据交集的定义即可求解；
（2）根据并集和补集的定义即可求解.
【小问1详解】
由题意，或，，
则.
小问2详解】
由（1）可知，或，
则.
18. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.
【答案】（1）2 （2）在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求解；
（2）根据单调性的定义判断并证明即可.
【小问1详解】
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2.
【小问2详解】
函数在上单调递增，证明如下：
令，则.
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由题可知，，又，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
20. 中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间．
（1）求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
（2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
【答案】（1）且；
（2）每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
【解析】
【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式；
（2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
小问1详解】
由题意，且.
【小问2详解】
由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
21. 已知函数，不等式的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式转化为一元二次方程的解求待定系数；
（2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题.
【小问1详解】
因为不等式的解集是
所以0，5是方程的两个实数根，
可得.
所以.
【小问2详解】
由，得，即.
令，
由题可知有解，即即可.
当时，，显然不合题意.
当时，图象的对称轴为直线.
①当时，上单调递减，
所以，解得；
②当时，在上单调递增，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
22. 定义在区间上的函数，对任意，都有，且当时，.
（1）求的值.
（2）证明：为偶函数.
（3）求解不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或.
【解析】
【分析】（1）赋值即可求解，
（2）根据奇偶性的定义即可求解，
（3）根据函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
令，可得，令，则.
【小问2详解】
由于定义域为，关于原点对称，
令，可得为偶函数.
【小问3详解】
令，设，则且，
由于，所以，
在上单调递减，
又为偶函数，
则在上单调递增，
由可得
或或，
故不等式的解集为或.
说明：1.全卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号；用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上填写姓名、试室号、座位号，并用2B铅笔把答题卷上的对应号码涂黑.
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔货签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液等工具.不按以上要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卷的整洁；考试结束后请将试卷和答题卷一并上交给监考老师.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有量词的命题否定方法可得答案.
【详解】因为命题“”的否定是“”.
故选：B.
2. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由集合补运算求集合.
【详解】由，，则.
故选：C
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出定义域.
【详解】因为，所以且，
所以定义域为，
故选：C.
4. 若，则（ ）
A. 9B. 10C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】直接计算即可.
【详解】.
故选：C
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】.
故选：B
6. 已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”（ ）条件
A. 充分而不必要B. 必要而不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数，
所以，“是偶数”“、都是偶数”，
“是偶数”“、都是偶数”，
故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件.
故选：B.
7. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值.
【详解】由题设，又.
故选：D
8. 16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，.则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间量进行大小比较.
【详解】因为函数单调递增，所以，
因为函数单调递减，所以，
因为单调递减，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质与反例排除法即可解题.
【详解】A选项采用反例排除：设，但，故A选项错误.
B选项利用不等式的性质：；
设
由不等式的性质可知：，即；故B选项正确.
C选项利用反例排除：当时，只能得出，故C选项错误.
D选项：若，故D选项正确.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. ，方程有实数根
C. 是4的倍数
D. 半径为3，且圆心角为的扇形的面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据存在量词命题的否定的知识可知，
“”的否定是“”，所以A正确；
因为，所以B正确；
当是偶数时，是奇数不是4的倍数，
当是奇数时，设，则，
所以不是4的倍数，所以C错误；
根据扇形的面积公式，可得，所以D错误.
故选：AB
11. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A. B. 为偶函数
C. 为单调递增函数D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由为幂函数可得，解得，
所以，故A正确，C正确；
由于，故为奇函数，故B错误；
的值域为，D错误，
故选：AC.
12. 关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 最小正周期是B. 图象关于点对称
C. 图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】CD
【解析】
【分析】由的周期性，对称中心，对称轴和单调区间，进而求出的对应性质，再逐一判断即可．
【详解】因为最小正周期为，故A显然正确；
因为的对称中心为Z，所以的对称中心为Z，故B正确；
因为无对称轴，所以也没有对称轴，C错误；
因为的增区间为 Z，所以的增区间为，即 Z，故D不正确．
故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知且，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
14. 重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的知识求得正确答案.
【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得.
故答案为：
15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.
【详解】因为的长度为，所以，，
所以勒洛三角形的面积是.
故答案为：.
16. 化简：________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角的三角函数关系式化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合，
（1）求
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合，再根据交集的定义即可求解；
（2）根据并集和补集的定义即可求解.
【小问1详解】
由题意，或，，
则.
小问2详解】
由（1）可知，或，
则.
18. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.
【答案】（1）2 （2）在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求解；
（2）根据单调性的定义判断并证明即可.
【小问1详解】
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2.
【小问2详解】
函数在上单调递增，证明如下：
令，则.
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
19. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由题可知，，又，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
20. 中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间．
（1）求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
（2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
【答案】（1）且；
（2）每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
【解析】
【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式；
（2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
小问1详解】
由题意，且.
【小问2详解】
由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
21. 已知函数，不等式的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式转化为一元二次方程的解求待定系数；
（2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题.
【小问1详解】
因为不等式的解集是
所以0，5是方程的两个实数根，
可得.
所以.
【小问2详解】
由，得，即.
令，
由题可知有解，即即可.
当时，，显然不合题意.
当时，图象的对称轴为直线.
①当时，上单调递减，
所以，解得；
②当时，在上单调递增，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
22. 定义在区间上的函数，对任意，都有，且当时，.
（1）求的值.
（2）证明：为偶函数.
（3）求解不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或.
【解析】
【分析】（1）赋值即可求解，
（2）根据奇偶性的定义即可求解，
（3）根据函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
令，可得，令，则.
【小问2详解】
由于定义域为，关于原点对称，
令，可得为偶函数.
【小问3详解】
令，设，则且，
由于，所以，
在上单调递减，
又为偶函数，
则在上单调递增，
由可得
或或，
故不等式的解集为或.
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