专题6.3 实际问题与一元一次方程【十五大题型】-2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

这是一份专题6.3 实际问题与一元一次方程【十五大题型】-2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版），文件包含专题63实际问题与一元一次方程十五大题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题63实际问题与一元一次方程十五大题型举一反三华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19416" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc19416 \h 1
\l "_Tc2994" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc2994 \h 2
\l "_Tc917" 【题型3 配套问题】 PAGEREF _Tc917 \h 3
\l "_Tc19082" 【题型4 销售盈亏问题】 PAGEREF _Tc19082 \h 4
\l "_Tc11007" 【题型5 比赛积分问题】 PAGEREF _Tc11007 \h 5
\l "_Tc26131" 【题型6 方案选择问题】 PAGEREF _Tc26131 \h 7
\l "_Tc27181" 【题型7 数字问题】 PAGEREF _Tc27181 \h 8
\l "_Tc7627" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc7627 \h 10
\l "_Tc25442" 【题型9 和差倍分问题】 PAGEREF _Tc25442 \h 11
\l "_Tc20664" 【题型10 比例分配问题】 PAGEREF _Tc20664 \h 12
\l "_Tc28689" 【题型11 古代问题】 PAGEREF _Tc28689 \h 13
\l "_Tc14056" 【题型12 日历问题】 PAGEREF _Tc14056 \h 13
\l "_Tc8940" 【题型13 年龄问题】 PAGEREF _Tc8940 \h 15
\l "_Tc20404" 【题型14 电费和水费问题】 PAGEREF _Tc20404 \h 15
\l "_Tc8084" 【题型15 其他问题】 PAGEREF _Tc8084 \h 17
【题型1 行程问题】
【例1】（2023秋·陕西渭南·七年级校考期中）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（向东记为正）记录如下：（612，现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套均为200元，护具报价每套均为50元．甲、乙两商场的优惠方案如下表：
(1)用含x的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；
(2)当购买多少套护具时，分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同？
(3)如要购买30套护具，请设计出最省钱的购买方案．
【题型7 数字问题】
【例7】（2023秋·福建漳州·七年级漳州三中校联考期中）【阅读材料】“九宫图”源于《易经》，中国古代称为“河图”、“洛书”，图①记载于《易经》中的《洛书》，用现代数学符号表示如图②，是一个三阶幻方．

(1)观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，请总结出“幻方”需要满足的条件是__________；
(2)若图③是一个幻方，求图中a，b，c的值．
【变式7-1】（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，……，排成如下的数表：
……
十字框可框住五个数．
(1)设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和；
(2)将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？如果有，请说出这种规律；
(3)十字框中的五个数的和能等于2023吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．
【变式7-2】（2023秋·江西抚州·七年级校考期末）若从一个数的末位开始，两位一段，若这些数段的和为88，我们称这个数为“幸运数”．例如432718，因为18+27+43=88，所以432718为“幸运数”；又例如25135，因为35+51+2=88，所以25135也是“幸运数”．
（1）若3a5这个三位数是“幸运数”，求a的值；
（2）在（1）中的三位数的百位前个位与十位之间分别加上一个数字，且这两个数字之和为9，让其成为一个五位数，该五位数仍是“幸运数”，求这个五位数．
【变式7-3】（2023秋·江苏扬州·七年级校联考期中）将奇数1至2021按照顺序排成下表：
记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．
（1）P43＝______；
（2）若Pmn＝2021，推理m＝______；n＝______；
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
【题型8 几何问题】
【例8】（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，一个长方形ABCD内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片P，Q，M，N铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形ABCD的周长为72，那么正方形纸片M的面积为（ ）

A．16B．36C．64D．121
【变式8-1】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）如图①，将一张长为60cm，宽为40cm的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子．

(1)若x=5cm，则将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为 cm3．
(2)若将剩下部分折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积．
【变式8-2】（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E是AB上的一点，且AE=2BE，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿C−D−A匀速运动，最终到达点A．设点P运动时间为ts，若△PCE的面积为20cm2，则t的值为 ．

【变式8-3】（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）综合与实践
问题情境：我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”．图1和图2的大长方形ABCD，A1B1C1D1都是“优美长方形”．

解决问题：
(1)如图1，“优美长方形”ABCD是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”ABCD的周长为104cm，求正方形d的边长．
(2)如图2，“优美长方形”A1B1C1D1是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即AB=A1B1，求图2中每块小长方形的面积．
(3)如图3，“优美长方形”A2B2C2D2是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形EFGH铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形A2PEN和正方形PHMD2的周长相等，正方形的边长为30cm，EF=310EN，求“优美长方形”A2B2C2D2的长A2D2．
【题型9 和差倍分问题】
【例9】（2023春·上海闵行·六年级校联考期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为2:1，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？
【变式9-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为了更好的落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组．学校用1000元从体育用品商店购入A、B两种款式的跳绳各40条，且购买的B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，求购买A、B两种款式跳绳的单价各是多少元？
【变式9-2】（2023秋·湖北咸宁·七年级统考期末）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”；马主曰：“我马食半牛”．大意是：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗粟米．羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半”，马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半”．按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人几斗粟米？
【变式9-3】（2023秋·广东广州·七年级统考期末）某校组织七年级师生到从化进行秋游活动，学校联系了快乐旅游公司提供车辆．该公司现有50座与35座两种车型．如果用35座的，会有5人没座位；如果全部换成50座，则可少用2辆车，而且多出15个座位．若35座客车日租金为每辆250元，50座客车日租金为每辆300元．
(1)该校七年级师生一共多少人参加了这次秋游活动？
(2)这次秋游活动一共有几种租车方案？哪一种方案最划算？
(3)从学校到目的地的路程为90千米，原计划3小时到达．在开了三分之一路程之后，堵车半小时．为了按时到达，请你帮司机算一下，车速应提高到每小时多少千米？
【题型10 比例分配问题】
【例10】（2023秋·江苏·七年级期末）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值．
【变式10-1】（2023秋·北京西城·七年级北京市第十三中学校考期末）某公司门口有一个长为900cm的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据作出了如下规定:边空宽:字宽:字距=3:4:1，请用列方程的方法解决下列问题:某次活动的字数为17个，求字距是多少？
【变式10-2】（2023秋·福建福州·七年级校考期中）甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是5:8:9，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？
【变式10-3】（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路若步数达到10000步及以上，则可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，每步可捐0.0002元；若步数在10000步以下，则不能参与爱心公益捐款.
（1）某天小齐的步数为15000步，求他这天为爱心公益可捐款多少钱？
（2）已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐款8.4元，且甲的步数：乙的步数：丙的步数=1:2:3，求这天甲走了多少步？
【题型11 古代问题】
【例11】（2023秋·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.
(1)绳子、长木各长多少尺?
(2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?
【变式11-1】（2023秋·湖北十堰·七年级统考期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（ ）两银子．
A．45B．46C．64D．26
【变式11-2】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【变式11-3】（2023秋·湖南湘潭·七年级校联考期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”，则客人的个数为 ．
【题型12 日历问题】
【例12】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考期末）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）

A．315B．416C．530D．644
【变式12-1】（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）这是2022年某月月历，现用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

(1)十字框中的五个数的和等于____________．
(2)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，请用代数式求出十字框中的五个数的和；
(3)在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于115，请你求出这五个数分别是多少？
(4)框住的五个数的和能等于118吗？为什么？
【变式12-2】（2023春·山东泰安·六年级统考期中）下表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．63B．84C．96D．105
【变式12-3】（2023秋·河北廊坊·七年级校联考期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘．
在某月的日历上圈出2×2个数，

(1)用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为___________（用含字母m的式子表示）；
(2)用图2方框圈出四个数的和是32，那么第一个数是___________；
(3)用图3斜框圈出的四个数和是42，最大的数是___________；
(4)若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．
【题型13 年龄问题】
【例13】（2023春·上海松江·六年级校考期末）阅读下列材料并回答问题：
墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公慕，里面安葬着丢番图．他生命的16是童年；再活了寿命的112，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的17，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？
【变式13-1】（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）已知小名比小丽大3岁，一天小名对小丽说“再过十五年，咱俩年龄和的2倍就是110岁了”那么现在小名年龄是 岁．
【变式13-2】（2023·天津武清·七年级统考期中）已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的12还多1岁．
（1）请用含m的式子表示这三人的年龄和；
（2）若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄．
【变式13-3】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，则派派今年的年龄为 岁.
【题型14 电费和水费问题】
【例14】（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）按照《关于调整四川电网居民生活用电阶梯电价的通知》（川发改价格〔2012〕560号）文件规定，目前国网泸州供电公司供居民用电阶梯价格执行如下：
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)某户居民在一个月内用电150度、280度，那么他这个月应缴纳电费多少元？
(2)如果该居民在一个月内用电a度，那么这个月他应缴纳电费多少元？
(3)2022年7月，泸州出现了历史罕见的高温热浪天气．李平家7月缴纳电费213元．则他这个月用电多少度？
【变式14-1】（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）某市居民用水收费标准如下，每户每月用水不超过22立方米时，水费按a元/立方米收费，每户每月用水超过22立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按(a+1.1)元/立方米收费．
(1)若某用户4月份用水20立方米，交水费46元，求a的值；
(2)若该用户7月份交水费71元，请问其7月份用水多少立方米？
【变式14-2】（2023秋·山东威海·六年级统考期末）为鼓励居民节约用电，电业部门决定实行分档收费，执行方案如下：
第一档：每户每月用电数小于或等于200度，执行0.55元/度的电价；
第二档：每户每月用电数大于200且小于400度，执行0.6元/度的电价；
第三档：每户每月用电数大于或等于400度，执行0.85元/度的电价．
例如，一户居民某月份用电300度，则需缴电费300×0.6=180（元）．
某户居民十一、十二月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户十二月份用电量大于十一月份，且两个月份的用电量均小于400度．求该户居民十一、十二月份各用电多少度？
【变式14-3】（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水6m3，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水xm3x>12，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水26m3，且4月份用水量超过14m3，3月份用水量超过8m3，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【题型15 其他问题】
【例15】（2023春·上海普陀·七年级校考期中）学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?（列一元一次方程解决）
(2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低15%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有49名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由．
【变式15-1】（2023秋·四川成都·七年级统考期末）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片国槐树叶与三片银杏树叶一年的滞尘总量为164毫克．
(1)求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的滞尘量分别为多少毫克？
(2)某公园内有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的滞尘总量为多少千克？（注：1克=1000毫克）
【变式15-2】（2023秋·浙江·七年级期中）某地出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米价1.8元；5千米后，每千米价格2.7元．
(1)若某人乘坐了5千米的路程，请写出他应支付的费用．
(2)若他支付了19元车费，你能算出他乘坐的路程吗？
【变式15-3】（2023秋·吉林·七年级校考期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，求大象的重量．
第一次
第二次
第三次
第四次
x
−12x
x−4
26−x
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于或等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按购物总金额打九折
超过600元
其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0

2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
参赛队
局次
胜
和
负
积分
A
9
6
3
0
21
B
9
5
3
1
18
C
9
1
14
D
9
2
4
3
10
E
9
0
0
9
0
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/元/min
被叫
方式一
60
200
0.25
免费
方式二
100
400
0.3
免费
商场
甲
乙
优惠方案
购买一套队服赠送一套护具
队服和护具均按报价打八五折
阶梯一
阶梯二
阶梯三
月用电量在180度及以下部分，用电价格为0.52元/度；
月用电量在181度至280度部分，在第一档电价的基础上，每度电加价0.1元，用电价格为0.62元/度，其他按阶梯一计算
月用电量高于280度部分，在第一档电价的基础上，每度电加价0.3元，用电价格为0.82元/度，其他按阶梯一、二分别计算
每月用水量
单价
不超过8m3的部分
3元/m3
超过8m3不超过12m3的部分
4元/m3
超过12m3的部分
6元/m3
孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重．
访之群下，咸莫能出其理，
冲曰：“置象大船之上．而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”
——《三国志》