广东省深圳市北师大南山附属学校中学部2023-2024学年下学期九年级开学考数学试题

这是一份广东省深圳市北师大南山附属学校中学部2023-2024学年下学期九年级开学考数学试题，共26页。试卷主要包含了如图所示的几何体的主视图是，方程的解是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图所示的几何体的主视图是
A．B．C．D．
2．方程的解是
A．B．C．，D．，
3．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是
A．B．C．D．
4．已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是
A．B．C．D．，
5．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为
A．15B．12C．9D．6
6．如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
7．下列说法正确的是
A．对角线垂直的平行四边形是矩形
B．方程有两个相等的实数根
C．抛物线的顶点为
D．函数，随的增大而增大
8．某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是，则由题意可得方程为
A．
B．
C．
D．
9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②④⑤
二．填空题（每题3分，共15分）
11．已知，则 ．
12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是 ．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正弦值是 ．
15．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（9分）解方程：
（1）；
（2）；
（3）2cs60°－sin²45°＋（－tan45°）2022．
17．（6分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，并补全条形图．
（2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为 ．
（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？
（4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
18．（7分）如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
19．（7分）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，，求的长度．
20．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨，是整数）元．
（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
21．（9分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出函数关系式中及表格中，的值：
， ， ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
22．（9分）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
①求证：；
②推断：的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图所示的几何体的主视图是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：．
2．方程的解是
A．B．C．，D．，
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是
A．B．C．D．
【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：．
4．已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是
A．B．C．D．，
【解答】解：将点代入，
，
，
点不在函数图象上，
故选：．
5．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为
A．15B．12C．9D．6
【解答】解：和△是以点为位似中心的位似三角形，
△，，
△，
，
，
，
的面积，
故选：．
6．如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：由作法得垂直平分，
，，，
平分，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，，，
，
解得：，
．
故选：．
7．下列说法正确的是
A．对角线垂直的平行四边形是矩形
B．方程有两个相等的实数根
C．抛物线的顶点为
D．函数，随的增大而增大
【解答】解：、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
、方程没有实数根，故说法错误，不符合题意；
、抛物线的顶点为，正确，符合题意；
、函数，在每一象限内随的增大而增大，错误，不符合题意，
故选：．
8．某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是，则由题意可得方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是，
该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达万元，十二月棉签产值达万元．
根据题意得：．
故选：．
9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【解答】解：当时，，即抛物线经过原点，故错误；
反比例函数的图象在第一、三象限，
，即、同号，
当时，抛物线的对称轴，对称轴在轴左边，故错误；
当时，，直线经过第二、三、四象限，故错误，正确．
故选：．
10．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是
A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②④⑤
【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．已知，则 ．
【解答】解：由题意，设，，
．
故答案为：
12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意可知：△，
，
故答案为：
13．如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是 ．
【解答】解：四边形为矩形，
，
在与中，
，
，
阴影部分的面积，
与同底且的高是高的，
．
矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正弦值是 ．
【解答】解：如图，连接，过点作于点．
．．
四边形是平行四边形．
．
．
，
．
．
在中，
，
．
．
故答案为：．
15．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为 ．
【解答】解：
沿折叠，点刚好与边上点重合，
，，
，，
，
，
设点的坐标是，
则，，
，
，
解得，
点的坐标是，
设反比例函数，
，
反比例函数解析式为，
点纵坐标为8，
，解得，即，
，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解方程及计算：
（1）；
（2）．
（3）2cs60°－sin²45°＋（－tan45°）2022．
【解答】解：（1），
，
，
或，
解得，；
（2），
，，，
，
，
，．
（3）原式＝＝．
17．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 50 名学生，并补全条形图．
（2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为 ．
（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？
（4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【解答】解：（1），
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为等级的学生数为（人；
，
（3）（名，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为等级的学生有56名；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率．
18．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
【解答】解：（1）过点作，垂足为，
由题意得：米，米，
在中，，
（米，
（米，
楼的高为110米；
（2）无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，
无人机返航需要的时间（秒，
秒秒，
无人机能安全返航．
19．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，，求的长度．
【解答】（1）证明：在中，
且，
，
在和中，
，
，，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
，
，
，
，
中，，
，
由勾股定理得：，
四边形是平行四边形，
，
．
20．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨，是整数）元．
（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【解答】解：（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出个台灯．
故答案为：．
（2）依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个；
（3）设每月的销售利润为，
根据题意得：，
，取整，
当时，有最大值，最大值为11890，
此时售价为：（元，
答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大．
21．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出函数关系式中及表格中，的值：
， ， ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【解答】解：（1）当时，，
解得：，
即函数解析式为：，
当时，，
当时，，
故答案为：，3，4；
（2）图象如图，根据图象可知当时函数有最小值；
（3）根据当的函数图象在函数的图象上方时，不等式成立，
或．
22．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
①求证：；
②推断：的值为 1 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．
【解答】（1）①证明：四边形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
②解：结论：．
理由：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，．
故答案为：1．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，作于．
，
，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
．
（3）解：如图2中，作交的延长线于．
，，
，
，
可以假设，，，
，，，
，或（舍弃），
，，
，，
，，
，
，，
，，
，，
，，，
．0
1
2
3
4
5
6
5
4
2
1
7
0
1
2
3
4
5
6
5
4
2
1
7