170，上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期2月测验数学试卷

这是一份170，上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期2月测验数学试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，全集，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用集合的补集求解.
【详解】解：集合，全集，
所以，
故答案为：
2. 双曲线的渐近线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可得到，从而得到渐近线方程.
【详解】由双曲线的标准方程可知，其焦点在轴上，且，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故答案为：
3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.
【详解】由正态分布的对称性，得，所以.您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 故答案为：2
4. 若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可将代入方程，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得，即得答案.
【详解】由题意是关于的实系数方程的一个根，
则，即，
即得，
故，
故答案为：
5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】当时，不等式为，显然不符合题意；
当时，因为关于的不等式的解集为，
所以有，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
6. 若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，且该圆柱的上、下底面都在球的球面上，则球的表面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆柱的母线长后可求轴截面对角线的长，故可求外接球的表面积.
【详解】设圆柱的母线长为，则，故，
故圆柱的外接球的直径为圆柱轴截面矩形对角线的长，
故外接球的表面积为，
故答案：.
7. 若，则正整数的值为_________．
【答案】5或7
【解析】
【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案.
【详解】由组合数性质：，可得，则，
所以或，解得或.
故答案为：5或7
8. 已知为无穷等比数列，，，则的公比为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意知，，再利用无穷等比数列和的公式求解即可.
【详解】因为无穷等比数列，，则，，
又，
所以，解得或（舍）.
故答案为：.
9. 记函数在上的最大值为，最小值为，则当时，的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的最小正周期，得到为最小正周期的，数形结合得到当关于的某条对称轴对称时取得最小值，不妨令，得到，，得到答案.
【详解】的最小正周期，
由于，为最小正周期的，
要想取得最小值，则在上不单调，
由对称性可知，所以当关于的某条对称轴对称时，
取得最小值，其对称轴为，
所以当时，取得最值，
不妨令，则，解得，
故，
故的最小值为.
故答案为：
10. 设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由的奇偶性及对称性可得周期性及图象，由可得，求方程的根即求交点的横坐标，观察图象可得转化为求（）即可.
【详解】由图象知，设的方程为，则，
则的方程为：（），
又因为是偶函数，
所以当时，则，
所以，
由，可得的图象关于直线对称，
又，所以，
所以的周期．
因为，所以，
则方程的根为交点的横坐标.
则作出函数和的大致图象如图，
由图象知，，，
则当时，方程取得最大根，
当时，，，
由得，即，
解得（舍）或.
故答案为：.
11. 平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为． 当最大时，的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式可得：，通过分类讨论可知：点的运动轨迹是如图所示的正方形的4条边．结合向量运算即可得到最小值．
【详解】先求符合的轨迹：设动点，则由题意，，
即，如图，按区域①-④去绝对值讨论：
①区域中，，化为，；
②区域中，且，化为，；
③区域中，，化为，；
④区域中，且，化为，；
如图，轨迹为一个正方形，即点的运动轨迹为如图正方形的四条边．
当最大时，有，
（为中点），
所以的最小值的等价于最小时，
显然当正方形①或④中的边时，，
所以.
故答案为：.
12. 已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求第二项，再找到可行数列，再证明可行性，即可求解.
【详解】若，则，得，若，与矛盾，只能取．
注意到一个可行的数列为0，，1，，2，，3，…下面证明该数列使达到最大：
为此，我们证明：当为奇数时，，
假设存在某正奇数使，则分为两种可能：
①若，则，；
同时，按原数列要求，，，故.
注意到该数列显然为整数数列，故当为奇数时，不存在整数能位于该区间,因此矛盾．
②若，则，，与矛盾；
综上，原假设不成立，故当为奇数时，.
而已经找到的数列0，，1，，2，，3， …中等号全部成立，故的最大值为．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到可行数列，再结合推理证明可行性.
二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据a和b的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确.
【详解】由，且知，则，故A错误；
，故B错误；
由得，即，故C错误；
，即，故D正确.
故选：D.
14. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个向量的坐标，结合投影向量概念，可以通过计算得出结果.
【详解】与方向相同的单位向量为，
由，，则，，
所以向量在向量上投影向量为.
故选：A.
15. 全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用． 例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”． 由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案． 已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用全概率公式可求答案.
【详解】设学生对食堂的实际满意度为，事件“回答问题一”，事件“回答的结果为是”.
,,
，
由全概率公式可得，即，
解得.
故选：A.
16. 函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确判断有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数定义，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：取，，满足，
但，，，故①错误；
对②：若，由函数定义可得，
所以，故②正确；
对③：取，，满足，
但，，，故③错误；
对④：假设，且，
则存在，则所以所以，
且，
若，则，所以，所以，矛盾，假设不成立；
若，则，矛盾，假设不成立；
所以若，则，故④正确.
故选：B.
三、解答题（本大题满分78分）
17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2．
（1）求该圆锥侧面展开图的圆心角；
（2）设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆锥的高和底面半径求出母线长，利用扇形圆心角公式即可求得侧面展开图的圆心角；（2）作出异面直线与所成角的平面角，即可求出直线与直线所成的角的大小.
【小问1详解】
由圆锥性质可知平面，易知高，底面半径，可得母线长，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角大小.
【小问2详解】
取的中点为，连接，，如下图所示：
因为为线段的中点，所以，因此（或其补角）就是直线与直线所成的角，
又，即，，且，平面，，即平面，
所以平面，即；
在直角中，易知，，，，因此
即直线与直线所成的角的大小为.
18. 已知函数，．
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，角A所对边，角所对边，若，求的面积．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式得到，利用换元法求出单增区间；
（2）先求出，利用余弦定理求出c，即可求出三角形的面积.
【小问1详解】
.
令，则.
因为在单调递增，所以在上单调递增.
即的单调递增区间为.
【小问2详解】
由，可得：.
因为，所以，所以时，；
时，.但此时，，所以，所以，不符合三角形内角和定理，舍去.
所以在中，，，，由余弦定理得：
，即，解得：或.
当时，;
当时，.
所以的面积为或.
19. 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
（1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
（2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1）
参考公式：，其中．
回归方程，其中．
相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性．
【答案】（1）列联表见解析，至少有的把握；
（2）① 0.84，有价值；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果.
（2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值.
【小问1详解】
列联表如下：
零假设：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为，
所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．
【小问2详解】
①因为回归方程为，所以，
又因为，，
所以．
与有较强的相关性，该回归方程有价值．
②，解得
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算.
20. 已知椭圆左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2），证明见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据通径的长可得，根据离心率可得，故可求后可得椭圆的方程.
（2）设，则直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零可求斜率，从而可证为定值.
（3）利用角平分线性质、点到直线的距离和在椭圆上可得，据此可求的范围.
【小问1详解】
由于，将代入椭圆方程，得．
由题意知，即．
又，，所以，．
所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
设，则直线的方程为．
联立得，
整理得
由题意得，即．
又，所以，故．
又知，
所以，
因此为定值，这个定值为．
【小问3详解】
设，又，，
所以直线的方程分别为，
．
由题意知，
由于点在椭圆上，所以．
所以，
结合整理得到：，而，
故，而在之间，故，
故即，因此．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的定值问题，有下面几种方法：
（1）用圆锥曲线上的动点表示目标代数式，然后利用动点满足的方程化简目标，从而得到定值；
（2）通过联立直线方程和圆锥曲线方程，然后用参数（如斜率、截距等）表示目标代数式，利用参数满足的等量关系化简前者可得定值.
（3）适当利用圆锥曲线的几何性质，结合 一些平面几何知识可得定值.
21. 设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
（1）判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
（2）设，求证：存在无穷多条“切线”；
（3）设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【答案】（1）是，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证；
（3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可.
【小问1详解】
记，则，设切点，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
【小问2详解】
因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，
故只要没其它零点，此时，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
【小问3详解】
因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
16
8
24
的平均浓度
6
20
26
合计
22
28
50